Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 242 стр.

    x151. tEOREMA O PLOTNOSTI
    mY DOKAVEM WAVNU@ W TEHNI^ESKOM OTNO[ENII TEOREMU, POKAZYWA@-
]U@, ^TO PRI RAS[IRENII ESTESTWENNOJ OBLASTI OPREDELENIQ NORMY k
k1
S PROSTRANSTWA C ( ) NA R1( ) ISHODNOE PROSTRANSTWO OSTAETSQ PLOTNYM
W R1( ).
    1. pUSTX      ( Rn ) LOKALXNO J -IZMERIMO. nOSITELEM FUNKCII
f : ! C (OBOZNA^AETSQ supp(f )) NAZOWEM ZAMYKANIE W Rn MNOVESTWA
fx 2 j f (x) =6 0g.
    oBOZNA^IM ^EREZ C00( ) PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH FUNKCIJ
f 2 C ( ), NOSITELI KOTORYH KOMPAKTNY I LEVAT W  (WNUTRENNOSTI
  ). qSNO, ^TO C00( )  C0( ), GDE C0( ) OPREDELENO W 149.7. pRIWLEKAQ
TOPOLOGI^ESKOE PONQTIE PLOTNOSTI (95.5), PRIWEDEM OBE]ANNU@ TEOREMU.
    2. pROSTRANSTWO C00( ) PLOTNO W R1 ( ) PO NORME k 
 k1.
  pRIWEDEM DOKAZATELXSTWO
                         Z +1W GEOMETRI^ESKI NAGLQDNOM ^ASTNOM SLU^AE
n = 1; = R, INTEGRAL
                          ,1
                             jf (x)j dx IMEET OSOBENNOSTI LI[X W TO^KAH
1 (DOKAZATELXSTWO OB]EGO SLU^AQ, PO SRAWNENI@ S RAZBIRAEMYM, NE WY-
ZYWAET ZATRUDNENIJ). iTAK, MY DOLVNY DLQZ PROIZWOLXNOGO
                                               +1
                                                               " > 0 SUMETX
PODOBRATX FUNKCI@ ' 2 C00( ) TAK, ^TOBY ,1 jf (x) , '(x)j dx < ".
                                          Z
    sNA^ALA WYBEREM N > 0 TAK, ^TOBY         jf (x)jdx < "=3 (\TO WOZMOVNO
                                Z +1     jxjN
W SILU SHODIMOSTI INTEGRALA ,1 jf (x)j dx). pOLOVIM g  [,N;N ] 
 f ,
GDE [,N;N ] | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ OTREZKA [,N; N ] (SM. 1.10).
fUNKCIQ g INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA OTREZKE [,N; N ] I, SLEDOWATELXNO,
SU]ESTWUET RAZLOVENIE 
(,N = x0 < x1 < : : : < xn = N ) TAKOE, ^TO
         ZN           X
                      n
        j ,N g(x) dx , mi(xi , xi,1)j < "=3; mi = xi,1inf
                                                       xxi
                                                             g(x):
                      i=1

pOLOVIM h = iP
                n
                  mi 
                =1 Z [xi,1 ;xi ]
                                 I ZAMETIM (rIS. 23), ^TO SU]ESTWUET ' 2
                       N
C00( ) SO SWOJSTWOM ,N j'(x) , h(x)j dx < "=3; supp(')  [,N; N ]. fUNK-

                                   242