Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 244 стр.

   3.   wSQKOE UNITARNOE PROSTRANSTWO E QWLQETSQ NORMIROWANNYM OT-
NOSITELXNO NORMY, INDUCIROWANNOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM:
                                    q
()                            kuk  hu; ui (u 2 E ):
~TOBY DOKAZATX \TO UTWERVDENIE, USTANOWIM SNA^ALA NERAWENSTWO kO[I-
bUNQKOWSKOGO DLQ UNITARNOGO PROSTRANSTWA:
     4. jhu; v ij  kuk 
 kv k.
  pUSTX hu; vi 6= 0 (INA^E UTWERVDENIE O^EWIDNO). tOGDA PRI  2 R S
ISPOLXZOWANIEM SWOJSTWA (I) IMEEM
               0  k jhhv; ui u + vk2 = 2kvk2 + 2jhu; vij + kuk2:
                        u; vij
iZ NEOTRICATELXNOSTI TREH^LENA PEREMENNOJ  W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NE-
RAWENSTWA SLEDUET, ^TO DISKRIMINANT TREH^LENA NEPOLOVITELEN: jhu; vij2,
kuk2kvk2  0, ^TO I TREBOWALOSX. >
     5. z A M E ^ A N I E. pRI DOKAZATELXSTWE P. 4 SWOJSTWO (IV) NE ISPOLX-
ZOWALOSX.
     6. dOKAZATELXSTWO P. 3. w PROWERKE NUVDAETSQ LI[X SWOJSTWO 148.1
(III). s U^ETOM P. 4 IMEEM
    ku + vk2 = kuk2 + hu; vi + hv; ui + kvk2 = kuk2 + 2Rehu; vi + kvk2
                  kuk2 + 2jhu; vij + kvk2  kuk2 + 2kukkvk + kvk2
                 = (kuk + kvk)2:
     7. z A M E ^ A N I E. eSLI FORMA hu; v i OBLADAET SWOJSTWAMI (I) |
(III), TO RAWENSTWO () OPREDELQET POLUNORMU W E .
     8. w DALXNEJ[EM, GOWORQ O TOPOLOGI^ESKIH SWOJSTWAH UNITARNOGO PRO-
STRANSTWA, MY WSEGDA IMEEM W WIDU, ^TO RE^X IDET O TOPOLOGII, OPREDE-
LQEMOJ NORMOJ (). oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ^TO SKALQRNOE PROIZWEDENIE
QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ SWOIH PEREMENNYH: ESLI un ! u; vn ! v,
TO hun ; vni ! hu; vi.
  tAK KAK un ! u, SU]ESTWUET KONSTANTA C > 0 TAKAQ, ^TO kunk  C
(n 2 N). sLEDOWATELXNO, S U^ETOM P. 4 IMEEM
  jhu; vi , hun; vnij = jhu; vi , hun ; vi + hun; vi , hun ; vnij
                            jhu , un; vij + jhun ; v , vnij
                            kun , uk 
 kvk + kunk 
 kv , vn k ! 0 (n ! 1): >
                                    244