Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 246 стр.

OPREDELQET NA \TOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE FORMU, OBLADA@]U@, O^E-
WIDNO, SWOJSTWAMI (I) | (III), I W SILU 152.5 IMEET MESTO INTEGRALXNOE
NERAWENSTWO kO[I-bUNQKOWSKOGO
      Z                 Z                 Z
   2.   f (x)g(x) dx  [ jf (x)j dx] [ jg(x)j2 dx]1=2,
                                2   1 = 2

A TAKVE INTEGRALXNOE NERAWENSTWO {WARCA (SM. 152.7)
       Z                            Z                   Z
                             1=2  [ jf (x)j2 dx]1=2 + [ jg (x)j2dx]1=2.
   3. [ [f (x) + g (x)]2 dx]

   4. fAKTORIZUQZ (METODOM x150) NA[E WEKTORNOE PROSTRANSTWO PO PO-
LUNORME kf k2  [ jf (x)j2 dx]1=2, PRIDEM K NORMIROWANNOMU PROSTRANST-
WU R2( ), \LEMENTY KOTOROGO | KLASSY FUNKCIJ RASSMOTRENNOGO WY[E
WEKTORNOGO PROSTRANSTWA
                 Z        . pRI^EM FUNKCII f I g PRINADLEVAT ODNOMU
KLASSU TTOGDA jf (x) , g(x)j2dx = 0. dOPUSKAQ WOLXNOSTX, MY BUDEM GO-
WORITX O KLASSAH FUNKCIJ KAK O FUNKCIQH. iTAK, R2( ) | UNITARNOE
PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM ().
   5. z A M E ^ A N I E. eSLI      OGRANI^ENO I J -IZMERIMO, TO R2( ) 
R1( ) f 2 R2( ), I DLQ f 2 R2( ) (SM. P. 2):
    Z              Z                  Z
      jf (x)j dx = jf (x) (x)j dx  [ jf (x)j2 dx]1=2 
 m( )1=2 < +1g:
   dLQ PROSTRANSTWA R2( ) TAKVE SPRAWEDLIWA TEOREMA O PLOTNOSTI,
ANALOGI^NAQ DOKAZANNOJ W x151.
   6. pUSTX ( Rn ) LOKALXNO J -IZMERIMO. tOGDA PROSTRANSTWO C00 ( )
PLOTNO W R2( ) PO NORME k 
 k2.                         Z
  pUSTX f 2 R2( ), I DLQ OPREDELENNOSTI INTEGRAL jf (x)j2 dx IME-
ET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX
                     Z           W TO^KE 1. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I
N > 0 TAKOWO, ^TO          jf (x)j2 dx < "2=2: nE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI,
                   nBN ()                                   Z
MOVNO S^ITATX, ^TO N  \ BN () NEWYROVDENO. tAK KAK jf (x)j2dx
                                                                       N

                                       246