Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 254 стр.

   1.eSLI f 2 R1(R), TO
                Z +1                           Z +1
          lim
         !1 ,1
                     f (x ) cos x dx  =   lim
                                          !1 ,1
                                                    f (x) sin x dx = 0:
 oTMETIM SNA^ALA, ^TO (NIVE PI[EM R WMESTO R,1            +1 )
           Z                            Z
             f (x) sin x dx = 2 j [f (x) , f (x +  )] sin x dxj
                                     1
                                       Z
                                  12 jf (x) , f (x +  )j dx:
                                                                           Z
pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I ' 2 C00(R) TAKOWA, ^TO (SM. 151.2) jf (x) ,
                                                                      Z
'(x)jdx < "=2. iZ 133.2 SLEDUET, ^TO INTEGRAL J ()  j'(x +  ) ,
'(x)j dx QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ PARAMETRA      Z         (NOSITELX FUNKCII
' KOMPAKTEN). pRI \TOM lim      !1
                                      J () = lim
                                                 !0
                                                        j'(x + ) , '(x)j dx = 0.
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET N > 0 TAKOE, ^TO J () < "=2 PRI jj > N .
pO\TOMU
         Z                           Z
        j f (x) sin x dxj  2 Z jf (x +  ) , f (x)j dx
                                   1
                               21 Z jf (x +  ) , '(x +  )j dx + J ()
                              + 12 jf (x) , '(x)j dx < " (jj > N ): >
    2. s L E D S T W I E. kO\FFICIENTY fURXE ak ; bk FUNKCII f 2 R              f1
STREMQTSQ K NUL@ PRI k ! 1.
    x159. oCENKA OSTATKA RQDA fURXE
    1. zAJMEMSQ TEPERX IZU^ENIEM POWEDENIQ TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA
fURXE. pUSTX f 2 R   f1. rASSMOTRIM ^ASTNU@ SUMMU RQDA fURXE \TOJ FUNK-
CII: Sn(x) = a20 + P (ak cos kx + bk sin kx). iSPOLXZUQ WYRAVENIQ x157 (3)
                      n
                     k=1
DLQ KO\FFICIENTOW ak I bk , IMEEM
                   Z 2 R 2              Pn 1 Z 2
 (1) Sn (x) = 2 1           f (t) dt +  0 f (t)[cos kt cos kx
                     0 0
                                        Zk=1
             + sin kt sin kx] dt = 1 [ 12 + P cos k(t , x)]f (t) dt
                                           2       n
                                         0        k=1

                                       254