Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 259 стр.

   z A M E ^ A N I E. 4. l. kARLESON DOKAZAL (1966), ^TO TRIGONOMETRI-
^ESKIE RQDY fURXE FUNKCIJ IZ Rf2 SHODQTSQ P.W.
   5. p R I M E R. rASSMOTRIM 2 -PERIODI^ESKU@ FUNKCI@ f (x) TAKU@,
^TO                           8 1; ESLI 0 < x < ,
                              <
                      f (x) = : ,1; ESLI , < x < 0,
                                 0; ESLI x = 0; .
                                                 Z
                                               2
w SILU 157.5 ak = 0 (k = 0; 1; : : :); bk =  0 sin kx dx = , k     2 ((,1)k ,
1)(k 2 N). tAKIM OBRAZOM, f (x) = 4 
 P sin(2
                                             1         k , 1)x (x 2 R). rQD W
                                           k=1      2 k ,1
PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ K f (x) W Rnf0; ; 2; : : :g SOGLASNO 160.5. w
OSTALXNYH TO^KAH SHODIMOSTX RQDA K 0 | ZNA^ENI@ FUNKCII f (x) DLQ
x = 0; ; 2; : : : | O^EWIDNA.
   x162. pOLNOTA SISTEMY POLINOMOW W C [a; b]
   1. sISTEMA FUNKCIJ f1; x; x2; : : :g POLNA W C [a; b].
   2. oPREDELIM SNA^ALA WE]ESTWENNYE POLINOMY Qn (x) STEPENI n (ONI
NAZYWA@TSQ POLINOMAMI ~EBY[EWA) RAWENSTWAMI cos nt = Qn(cos t), TAK
^TO Qn(x) = cos(n arccos x) (n = 0; 1; 2; : : :). w ^ASTNOSTI, Q0(x) = 1,
Q1(x) = x; Q2(x) = 2x2 , 1. pRI PROIZWOLXNOM n DLQ POLU^ENIQ POLINOMA
Qn MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ TOVDESTWOM
            cos nt + i sin nt = eint = (eit)n = (cos t + i sin t)n
                               = P in,k nk cosk t 
 sinn,k t:
                                   n
                                  k=0
iTAK, KAVDYJ ^ETNYJ TRIGONOMETRI^ESKIJ POLINOM Tn(t) = a20
+ P ak cos kt PODSTANOWKOJ t = arccos x, KOTORAQ GOMEOMORFNO OTOBRA-
   n
  k=1
VAET OTREZOK [0; ] NA OTREZOK [,1; 1], PREOBRAZUETSQ W ALGEBRAI^ESKIJ
POLINOM                                     Xn
                P (x) = T (arccos x) = a0 + a Q (x):
                   n        n
                                           2          k k
                                                k=1
oBRATNO, L@BOJ WE]ESTWENNYJ POLINOM Pn (x) = a0 + a1x + : : : + anxn
PODSTANOWKOJ x = cos t PREOBRAZUETSQ W ^ETNYJ TRIGONOMETRI^ESKIJ PO-

                                     259