Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 265 стр.

      3.   iNTEGRAL
                                ZN
(2)                   N (x)         (a() cos x + b() sin x) d
                                0
NAZYWAETSQ PROSTYM INTEGRALOM fURXE FUNKCII f 2 R1(R). |TO ANALOG
^ASTNOJ SUMMY RQDA fURXE PERIODI^ESKOJ FUNKCII. w SILU P. 2 INTEGRAL
(2) KORREKTNO OPREDELEN. oTMETIM KOMPLEKSNU@ FORMU \TOGO INTEGRALA:
                     ZN                               ZN                 Z
           ( x )  =       c (  ) e ix d = p1            e ix d p1      f (t)e,it dt:
         N
                       ,N                         2   , N            2
    nAS BUDET INTERESOWATX WOPROS O SHODIMOSTI PROSTOGO INTEGRALA fU-
RXE K FUNKCII. dLQ \TOGO SNA^ALA POLU^IM UDOBNOE ASIMPTOTI^ESKOE
WYRAVENIE DLQ PROSTOGO INTEGRALA fURXE.
    4. dLQ WSQKOJ FUNKCII f 2 R1 (R) I L@BOGO  > 0

(3)                ( x ) =  1 Z  f (x + t) sin Nt dt + o(1) (N ! +1):
                 N
                             ,                    t
pRI \TOM OSTATOK o(1) STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO NA L@BOM OT-
REZKE [a; b].
  iZ PREDSTAWLENIQ (2) MY IMEEM S U^ETOM (1)
                             ZN Z
                           1
           N ( x )    =     Z0 d fZ(t) cos (t , x) dt
                                              N
                      = 1 f (t) dt cos (t , x) d
                             Z          sin
                                            0
                                            N  (t , x )           Z f (x + t)
                           1
                      =  f (t) t , x dt =                     1
                                                                        t sin Nt dt
(ZDESX 2-E RAWENSTWO SPRAWEDLIWO W SILU x165). wZQW PROIZWOLXNOE  > 0
I POLOVIW h(t) = 1t f (x + t)(;+1) (t) (t 2 R), POLU^IM jh(t)j  1 jf (x + t)j,
OTKUDA h 2 R1(R), I PO LEMME 158.1
              Z +1 f (x + t)                       Z
(4) J =
                           t sin Ntdt = h(t) sin Ntdt = o(1) (N ! +1):
                 Z ,
aNALOGI^NO ,1 f (xt+ t) sin Nt dt = o(1) (N ! +1). tAKIM OBRAZOM,
IMEET MESTO (3).
                                           265