Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 271 стр.

   3. kAVDOJ FUNKCII f 2 Rloc   1 SOOTWETSTWUET OBOB]ENNAQ FUNKCIQ
f 2 O , OPREDELENNAQ RAWENSTWOM
      0
                              Z
()                  f (')  f (x)'(x) dx; ' 2 O:
pRI \TOM UKAZANNOE SOOTWETSTWIE IN_EKTIWNO.
  iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI KORREKTNO OPREDELEN (!!) I f | LINEJNYJ
FUNKCIONAL NA O. uSTANOWIM NEPRERYWNOSTX FUNKCIONALA f . pUSTX
'n !  ('n 2 O) I OTREZOK [a; b] TAKOW, ^TO supp('n )  [a; b] (n 2 N).
tOGDA f ('n ) ! 0 W SILU OCENKI
                       Zb                              Zb
           jf ('n)j  a jf (x)jj'n(x)j dx  k'n k[a;b] a jf (x)j dx
S U^ETOM TOGO, ^TO W SILU (B) 'n =) .
    dOKAVEM IN_EKTIWNOSTX. tAK KAK SOOTWETSTWIE f ! f LINEJNO PO
f , DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO f =     6  WLE^ET f =6 0. iTAK, PUSTX  6=
f 2 R1 Z. |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET OTREZOK [a; bZ]  R TAKOJ, ^TO IN-
       loc
            b                                             b
TEGRAL a f (x) dx NE IMEET OSOBENNOSTEJ NA [a; b] I a jf (x)jdx > 0. sLE-
DOWATELXNO, f NEPRERYWNA P.W. NA [a; b], I ZNA^IT, NAJDETSQ x0 2 (a; b)
| TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f , W KOTOROJ f (x0) =         6 0; NAPRIMER,
PUSTX f (x0) > 0. sLEDOWATELXNO, f STROGO POLOVITELXNA W NEKOTOROJ
OKRESTNOSTI (x0 , "; x0 + ")  [a; b]. wOZXMEM ' 2 O; '  0; ^TOBY
Z x0 +"')  (x0 , "; x0 + "); '(x0) = 1. w SILU 50.3 POLU^IM f (') =
supp(
 x0 ,"
       f (x)'(x) dx > 0, TO ESTX f =6 0: >
    tAKIM OBRAZOM, OSU]ESTWLENO WLOVENIE Rloc      1 W O . oKAZYWAETSQ, PRO-
                                                        0
STRANSTWO O0 [IRE, ^EM Rloc   1 : SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE FUNKCII, NE QW-
LQ@]IESQ FUNKCIONALAMI WIDA f (f 2 Rloc      1 ).
    4. [ -FUNKCIQ]. oPREDELIM FUNKCIONAL  NA PROSTRANSTWE O FORMULOJ
(') = '(0) (' 2 O). tOGDA 0 =   6  2 O0 (!!). pOKAVEM, ^TO
                                                           Z NE SU]ESTWUET
f 2 R1 TAKOJ, ^TO  = f . pUSTX, NAPROTIW, '(0) = f (x)'(x) dx (' 2
        loc
O), GDE f | NEKOTORAQ FUNKCIQ IZ Rloc     1 . pOKAVEM TOGDA, ^TO f (x) = 0
P.W. (\TO BUDET OZNA^ATX, ^TO f = 0 W PROTIWORE^IE S TEM, ^TO  =     6 0).
pUSTX x0(=   6 0) | TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f . eSLI f (x0) =6 0, TO
LEGKO PODOBRATX ' 2 O TAK, ^TOBY 0 62 supp(')  (x0 , "; x0 + "); '(x0) =
                                    271