Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 276 стр.

w SILU P. 6 2 S , I ZNA^IT, 2 R1(R), OTKUDA INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI
(1) SHODITSQ RAWNOMERNO, TAK ^TO RAWENSTWO (1) SPRAWEDLIWO. iTAK,
OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW. pOSLEDOWATELXNO INTEGRIRUQ PO
^ASTQM W (1), IMEEM
                    1 Z                   1   Z
          ] ( k )
         ' (x) = ix (t)e dt = : : : = (ix)m (m)(t)e,ixt dt;
                         0   , ixt

OTKUDA DLQ L@BYH k; m
                                     Z          Z
       ]                     ] ( k )
(2) k' kk;m = sup(1 + jxj )j' (x)j  j (t)j dt + j (m)(t)j dt < +1:
                         m
              x2R

iTAK, '] 2 S . uSTANOWIM TEPERX, ^TO ]) | NEPRERYWNOE LINEJNOE OTO-
BRAVENIE. pUSTX 'n ,! S , TO ESTX k' k ! 0 (n ! +1) DLQ L@BYH
                                     n k;m
k; m. tOGDA
                           Z            Z
(3)                 ]
                 k'nkk;m  j n(t)j dt + j n(m)(t)j dt;
GDE n(t) = p12 (,it)k 'n(t). dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO INTEGRALY W PRA-
WOJ ^ASTI (3) STREMQTSQ K NUL@. dEJSTWITELXNO,
          Z                  Z
            j n (t)j dt = j n(m)(t)Zj(1 + t2) 1 +dtt2
              ( m )
                         k nkm;2 
 1 +dtt2 ! 0 (n ! +1):
oSTALOSX UBEDITXSQ W BIEKTIWNOSTI OTOBRAVENIQ ]). s U^ETOM 168.6
'] =  ) ' = '][ = [ = , TO ESTX ]) IN_EKTIWNO. pUSTX ' 2 S PROIZ-
WOLXNO. pOLAGAQ = '[, IMEEM 2 S ; ' = ], TAK ^TO ]) S@R_EKTIWNO. >
   8. u P R A V N E N I E. pUSTX '0 2 S TAKOWA, ^TO '0 (0) = 1. pOKAZATX,
^TO OTOBRAVENIE A0 : S ! S , ZADANNOE RAWENSTWOM
                         (1
              (A0')(t) = t 0['(t) , '(0)'0 0(t)]; ESLI t =
                                                         6 0,
                           ' (0) , '(0)'0(0); ESLI t = 0,
QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRAVENIEM. fuKAZANIE: POKAZATX
SNA^ALA, ^TO ' 2 S ) A0' 2 S . dLQ PROWERKI NEPRERYWNOSTI DOSTATO^NO
                                  276