Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 286 стр.

   x179. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODA
   1. pUSTX f ; p : [0; `] ! Rn g | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ,
PARAMETRIZOWANNAQ DLINOJ DUGI s. pUSTX f : ! R | NEPRERYWNAQ FUNK-
CIQ. kRIWOLINEJNYM INTEGRALOM 1-GO RODA OT FUNKCII f WDOLX KRIWOJ
  NAZYWAETSQ INTEGRAL
                              Z        Z`
(1)                               f        f (p(s)) ds:
                                       0

    z A M E ^ A N I Q. 2. eSLI KRIWAQ PARAMETRIZOWANA KAKIM-LIBO PA-
RAMETROM t, OTLI^NYM OT s, TO S U^ETOM 178.3 I FORMULY ZAMENY PE-
REMENNOJ POLU^IM WYRAVENIE DLQ KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA PO KRIWOJ
f ; x : [a; b] ! Rng:
                  Z    Z`              Zb
(2)                 f = 0 f (p(s)) ds = a f (x(t))kx0(t)k dt:

      3.wELI^INA KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA 1-GO RODA NE ZAWISIT OT NA-
PRAWLENIQ
Z`               OBHODAZ 0 KRIWOJ: POLAGAQZ ` = ` , s; pe() = p(` , ), IMEEM
 0
   f (pe())d  = ` f (p(s)) d(,s) = 0 f (p(s))ds.
    4. k KRIWOLINEJNOMU INTEGRALU 1-GO RODA MY PRIHODIM, RE[AQ, NA-
PRIMER, ZADA^U OPREDELENIQ MASSY KRIWOLINEJNOGO STERVNQ S ZADANNOJ
LINEJNOJ PLOTNOSTX@ (PLO]ADX SE^ENIQ STERVNQ S^ITAETSQ POSTOQNNOJ).
pUSTX URAWNENIE STERVNQ ZADANO PARAMETRI^ESKI = f(x(t); y(t); z(t)) j
a  t  bg, A PLOTNOSTX OPISYWAETSQ FUNKCIEJ (x; y; z), OPREDELENNOJ W
TO^KAH STERVNQ. wZQW NEKOTOROE RAZLOVENIE 
(a = t0 < t1 < : : : < tk =
b), PRIMEM PRIBLIVENNO MASSU mi i-GO U^ASTKA STERVNQ, ZAKL@^ENNOGO
MEVDU TO^KAMI (x(ti,1); y(ti,1); z(ti,1)); (x(ti); y(ti); z(ti)), RAWNOJ mi    =
(x(i)Z; y(i); z(i))
`i, GDE i | POKA PROIZWOLXNAQ TO^KA IZ [ti,1; ti], A
            ti

`i =           [x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2]1=2dt | DLINA \TOGO U^ASTKA. pO TEOREME
           ti,1
O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA i 2 [ti,1; ti], ^TO 
`i = [x0(i )2 + y0(i)2 +
z0(i )2]1=2(ti , ti,1). pOLAGAQ i = i , POLU^IM
       Xk           Xk
 m = mi = (x(i); y(i); z(i))[x0(i)2 + y0(i )2 + z0(i)2]1=2(ti , ti,1):
           i=1   i=1

                                        286