Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 29 стр.

                                             n
   5.  ~ISLOM e NAZYWAETSQ PREDEL lim 1 + n1 = 2; 7182 : : :.
  dOKAVEM SU]ESTWOWANIE \TOGO PREDELA. pOSLEDOWATELXNOSTX yn 
(1 + n1 )n+1 NE WOZRASTAET:
              yn,1 =  n2 n n = 1 + 1 n n
               yn        n2 , 1 n+ 1         n2 , 1 n + 1
                    > 1 + n2 n, 1 n + n > 1;
                                        1
I PO SWOJSTWU P. 3 SU]ESTWUET lim yn . sLEDOWATELXNO,
                     1 n            1 ,1
                 lim 1 + n = lim yn 1 + n = lim yn: >
6. pOSLEDOWATELXNOSTX (xn ) NAZYWAETSQ FUNDAMENTALXNOJ (ILI POSLEDO-
WATELXNOSTX@ kO[I), ESLI
                    8" > 0 9N 8n; m > N (jxn , xmj < ")
 ILI, \KWIWALENTNO, 8" > 0 9N 8n > N 8p (jxn+p , xnj < ").
   7. k R I T E R I J [o. kO[I]. ~TOBY POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) SHO-
DILASX, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA FUNDAMENTALXNOJ.
  nEOBHODIMOSTX. pUSTX xn ! a; " > 0 | PROIZWOLXNO I N 2 N
TAKOWO, ^TO jxn , aj < "=2 (n > N ). tOGDA DLQ L@BYH n; m > N IMEEM
         jxn , xmj = jxn , a , (xm , a)j  jxn , aj + jxm , aj < ";
TO ESTX (xn) FUNDAMENTALXNA.
   dOSTATO^NOSTX. pUSTX (xn ) FUNDAMENTALXNA. tOGDA (xn) OGRANI-
^ENA. dEJSTWITELXNO, ESLI N TAKOWO, ^TO jxn , xmj < 1 (n; m > N ), TO
               jxn j  maxfjx1j; : : :; jxN j; jxN +1j + 1g (n 2 N):
pO SWOJSTWU P. 1 SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk ) :
xnk ! a. pOKAVEM, ^TO xn ! a. pUSTX " > 0: tOGDA SU]ESTWU@T N; N 0 2 N
TAKIE, ^TO jxn , xmj < "=2 (n; m > N ); jxnk , aj < "=2 (nk > N 0). dLQ
n > N 00 = max(N; N 0) IMEEM
              jxn , aj  fWYBIRAEM KAKOE-LIBO nk > N 00g
                         jxn , xnk j + jxnk , aj < ": >
                                  29