Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 31 стр.

(SNOWA nN SU]ESTWUET, T. K. SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDO-
WATELXNOSTI (xn), SHODQ]AQSQ K N > 0 , N1 ). pO POSTROENI@
 2 L(xnN ) )   0. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO L(xnN )  L(xn ): >
    5. wERHNIM (SOOTWETSTWENNO NIVNIM) PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI
(xn) NAZYWAETSQ NAIBOLX[IJ (SOOTWETSTWENNO NAIMENX[IJ) \LEMENT MNO-
VESTWA L(xn); ON OBOZNA^AETSQ lim xn (SOOTWETSTWENNO lim xn).
    6. wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY SU]ESTWU@T I lim xn  lim xn . pRI
\TOM lim xn = lim xn TTOGDA SU]ESTWUET lim xn (I TOGDA lim xn =
lim xn = lim xn).
   1-E UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 4. eSLI lim xn SU]ESTWUET, TO L(xn)
ODNO\LEMENTNO, A ZNA^IT, lim xn = lim xn. oBRATNO, PUSTX L(xn ) ODNO\LE-
MENTNO: L(xn ) = fg. pOKAVEM, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX TO^KI  QWLQETSQ
LOWU[KOJ DLQ (xn). eSLI, NAPRIMER,  = +1 I  2 R PROIZWOLXNO, TO
WNE INTERWALA (; +1) LEVIT LI[X KONE^NOE ^ISLO ^LENOW POSLEDOWA-
TELXNOSTI (xn) (W PROTIWNOM SLU^AE NA[LASX BY PODPOSLEDOWATELXNOSTX
xnk !   , ^TO PROTIWORE^IT ODNO\LEMENTNOSTI L(xn)). pUSTX TEPERX
 2 R I a <  < b. sNOWA W PROMEVUTKAH (,1; a] I [b; +1) MOVET LE-
VATX LI[X KONE^NOE ^ISLO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI (xn), T. E. (a; b) |
LOWU[KA DLQ (xn): >
    7. p R I M E R. dLQ POSLEDOWATELXNOSTI xn = n     1 [2 + (,1)n]n : lim xn =
0; lim xn = +1.
    u P R A V N E N I Q. 8. pOKAVITE, ^TO lim xn = lim         sup x ; lim xn =
                                                            k nk n
lim inf x .
  k nk n
    9. eSLI ODIN IZ PREDELOW lim xn ; lim yn KONE^EN ILI lim xn = lim yn , TO
lim (xn + yn)  lim xn + lim yn. w ANALOGI^NYH PREDPOLOVENIQH lim (xn +
yn)  lim xn + lim yn.
    10. eSLI xn ! a > 0, TO lim xn = a 
 lim yn ; lim xn yn = a 
 lim yn .
    11. pUSTX xn > 0 (n 2 N). dOKAZATX, ^TO lim x
                                                  xn+1  lim pn xn ; lim pn xn 
                                                    n
    x n
lim xn .+1




                                      31