Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 30 стр.

                                            n
8. u P R A V N E N I E. dOKAVITE, ^TO lim xn! = 0 (x 2 R).
   x12. pREDELY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ
   1. bUDEM GOWORITX, ^TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) STREMITSQ
K +1 W R [ f1g (OBOZNA^ENIE: xn ! +1), ESLI WSQKAQ -OKRESTNOSTX
TO^KI +1 | LOWU[KA DLQ (xn), TO ESTX
                   8M 2 R 9N 2 N 8n > N (xn > M );
aNALOGI^NO OPREDELQETSQ SIMWOL xn ! ,1.
   2. pODOBNYM VE OBRAZOM OPREDELQETSQ SHODIMOSTX ^ISLOWOJ POSLEDO-
WATELXNOSTI (xn) K TO^KE 1 W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R [ f1g :
xn ! 1, ESLI WSQKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI 1 QWLQETSQ LOWU[KOJ DLQ
POSLEDOWATELXNOSTI (xn), TO ESTX
                   8M > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj > M ):
3. w RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R [ f1g TO^KU  NAZOW     EM ^ASTI^-
NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn), ESLI SU]ESTWUET PODPOSLEDOWA-
TELXNOSTX xnk ! . pUSTX L(xn) | MNOVESTWO WSEH ^ASTI^NYH PREDELOW
POSLEDOWATELXNOSTI (xn).
   4. mNOVESTWO L(xn ) NE PUSTO I OBLADAET NAIBOLX[IM I NAIMENX-
[IM \LEMENTAMI.
  eSLI (xn) OGRANI^ENA, TO L(xn) NE PUSTO W SILU 11.1. eSLI (xn) NE
OGRANI^ENA SWERHU (SOOTWETSTWENNO SNIZU), TO MNOVESTWU L(xn ) PRINAD-
LEVIT TO^KA +1 (SOOTWETSTWENNO f,1g). pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO L(xn)
OBLADAET NAIBOLX[IM \LEMENTOM. w SILU 8.3 SU]ESTWUET 0 = sup L(xn).
pOKAVEM, ^TO 0 2 L(xn). uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI 0 = +1 (!!).
pUSTX 0 2 R. w SILU 6.4 DLQ L@BOGO N 2 N WYBEREM N 2 L(xn) TAK,
^TOBY 0 , N1 < N . pUSTX xn1 TAKOWO, ^TO
                              0 , 1 < xn1
(n1 SU]ESTWUET, TAK KAK SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWA-
TELXNOSTI (xn), SHODQ]AQSQ K NEKOTOROMU 1 > 0 , 1). eSLI xn1 ; : : : ; xnN ,1
UVE WYBRANY, NAJDEM INDEKS nN IZ USLOWIQ:
                         nN > nN ,1; 0 , N1 < xnN
                                      30