Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 33 стр.

 uTWERVDENIE 6 SLEDUET IZ 11.3, PRIMENENNOGO K POSLEDOWATELXNOSTI
^ASTNYH SUMM RQDA (). >
   pOLAGAQ W KRITERII kO[I p = 1, POLU^AEM NEOBHODIMOE USLOWIE SHO-
DIMOSTI RQDA:
   7. eSLI RQD
               P x SHODITSQ, TO x ! 0.
                     n                   n
   8. rQDOM lEJBNICA NAZYWAETSQ RQD WIDA x1 , x2 + x3 , : : :, GDE xn > 0,
PRI^EM x1  x2  : : : ; xn ! 0: rQD lEJBNICA WSEGDA SHODITSQ I EGO
SUMMA  x1.
  iZ PREDSTAWLENIJ
        s2n = x1 , (x2 , x3) , : : : , (x2n,2 , x2n,1) , x2n  x1;
        s2n = (x1 , x2) + : : : + (x2n,1 , x2n)
SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (s2n) OGRANI^ENA SWERHU I NE UBYWAET,
TAK ^TO SU]ESTWUET s = lim s2n  x1. kROME TOGO, lim s2n+1 = lim(s2n +
x2n+1) = s, OTKUDA lim sn=s. >
   p R I M E R Y. 9. rQD 1 , 1 + 1 , 1 + : : : RASHODITSQ.
   10. rQD
             P
             1 n
                x = 1 + x + x2 + : : : RASHODITSQ PRI jxj  1, TAK KAK xn NE
            n=0
STREMITSQ  K 0 (SM. P. 7). pRI jxj < 1 RQD SHODITSQ: sn = 1+ x + : : :+ xn,1 =
1 , x ! (1 , x),1.
     n
 1,x
   11. rQD 1 + 1 + 1 + : : : NAZYWAETSQ GARMONI^ESKIM. oN RASHODITSQ,
                 2 3
TAK KAK DLQ NEGO NARU[AETSQ KRITERIJ P. 5:
                     js2n , snj = n +1 1 + : : : + 21n > 12 :
   12.   rQD 1 , 12 + 31 , : : : SHODITSQ (\TO RQD lEJBNICA).
   x14. pRIZNAKI SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNYH RQDOW
   1.   pUSTX P xn; P yn RQDY S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI.
   ( A ) eSLI x   y    ( n 2 N), TO IZ SHODIMOSTI
                                                   P y SLEDUET SHODIMOSTX
P x , A IZ RASHODIMOSTI P x | RASHODIMOSTX Pny .
               n      n
   n                               n                   n
                  x                            P    P
   (B) eSLI lim yn = A > 0, TO OBA RQDA xn; yn SHODQTSQ ILI RAS-
                    n
HODQTSQ ODNOWREMENNO.
                                       33