Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 34 стр.

  (A) SLEDUET IZ 13.6, POSKOLXKU tk = nP=1 yn  nP=1 xn = sk ; k 2 N. pUSTX
                                            k       k

" > 0 TAKOWO, ^TO 0 < " < A I j xynn , Aj < " (n > N ), TO ESTX
                 0 < (A , ")yn < xn < (A + ")yn (n > N ):
tEPERX  ( B ) SLEDUET IZ ( A ). nAPRIMER , ESLI P x SHODITSQ, TO SHODITSQ RQD
P xn (SM. 13.3) I, TAK KAK y < xn (n >n N ), SHODITSQ RQD P y : >
  A,"                               n A,"                               n
   2. [pRIZNAK dALAMBERA]. pUSTX xn > 0 (n 2 N).
   (A) eSLI lim xxn+1                  P
                     n < 1 , TO RQD xn SHODITSQ.
   (B) eSLI lim xxn+1   >   1 , TO RQD P x RASHODITSQ.
                     n                      n
   3. [pRIZNAK kO[I]. pUSTX xn  0 (n 2 N).
   (A) eSLI lim pn xn < 1, TO RQD P xn SHODITSQ.
   (B) eSLI lim pn x > 1, TO RQD P x RASHODITSQ.
                    n                   n
   4.   z A M E ^ A N I E. uSLOWIE (A) PRIZNAKA dALAMBERA (SOOTWETSTWENNO
PRIZNAKA kO[I) \KWIWALENTNO USLOWI@:
                       xn+1                         p                
         9n0 8n  n0 x  q < 1 (SOOTWETSTWENNO xn  q < 1) :
                                                      n
                           n
 2(A). w SILU P. 4 xxn+1n  q < 1 PRI n  n0 . bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI
MOVNO S^ITATX, ^TO xxn+1    n  q DLQ WSEH n 2 N. tOGDA xn+1 = x1 
 x1 

                                                                           x2
x3 
 : : : xn+1  x1qn, NO PRI q < 1 RQD x1q + x1q2 + x1q3 + : : : SHODITSQ, I
x2          xn
UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 1(A). p
   3(B). pUSTX r TAKOWO, ^TO lim n xn > r > 1. tOGDA SU]ESTWUET POD-
POSLEDOWATELXNOSTX (xnk )PPOSLEDOWATELXNOSTI (xn) TAKAQ, ^TO xnk > 1
(k 2 N). w SILU 13.7 RQD xn RASHODITSQ. aNALOGI^NO USTANAWLIWA@TSQ
2(B) I 3(A). >
                                                        P
                                                        1 xn P   1  n n2
   5. u P R A V N E N I E. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX:        ;                .
                                                       n=0 n! n=1 n + 1
   6. z A M E ^ A N I E. pOLEZNO IMETX W WIDU, ^TO RQD
                                                             P
                                                             1 1
                                                                    p SHODITSQ
                                                            n=1 n
PRI p > 1 I RASHODITSQ PRI p  1. pOSLEDNEE SLEDUET IZ RASHODIMOSTI
GARMONI^ESKOGO RQDA, PERWOE BUDET USTANOWLENO POZDNEE (SM. 59.2).

                                      34