Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 290 стр.

(ZNAK r ^ITAETSQ \NABLA"). fUNKCIQ u NAZYWAETSQ W \TOM SLU^AE POTEN-
CIALOM WEKTORNOGO POLQ, A SAMO POLE | POTENCIALXNYM. wEKTORNOE POLE
ru NAZYWA@T GRADIENTOM FUNKCII u I OBOZNA^A@T grad u.
                         ENNOSTX E \LEKTRI^ESKOGO POLQ (W R3) TO^E^NOGO
   2. p R I M E R. nAPRQV
ZARQDA q, POME]ENNOGO W NA^ALO KOORDINAT, W TO^KE PROSTRANSTWA, IME-
@]EJ RADIUS-WEKTOR r, ZADAETSQ FORMULOJ (ZAKON kULONA) E = q krrk3 ,
GDE  | KONSTANTA, ZAWISQ]AQ OT WYBORA SISTEMY FIZI^ESKIH EDINIC.
|TO POLE POTENCIALXNO:
            E = ru; GDE u(x; y; z) = ,q(x2 + y2 + z2),1=2:
   3. pUSTX a :   ! Rn | NEPRERYWNOE WEKTORNOE POLE W OBLASTI .
sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
 (1) SU]ESTWUET NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ u : ! R
     TAKAQ, ^TO a = ru,
     I
 (2) ha; i = 0 DLQ KAVDOGO ZAMKNUTOGO KONTURA  .

  (1) ) (2). pUSTX f ; x : [c; d] ! Rn g | ZAMKNUTYJ KONTUR (TO ESTX
x(c) = x(d)). tOGDA
     I             Z d Pn                     Z d Pn
                          i       i 0                 @ui (x(t))xi0(t)] dt
       ha; i = " c [i=1 a (x(t))x (t)] dt = " c [i=1 @x
                   Zd
               = " dtd [u(x(t))] dt = "[u(x(d)) , u(x(c))] = 0
                    c
(ZDESX " = 1 W ZAWISIMOSTI OT ORIENTACII ). R
   (2) ) (1). eSLI WYPOLNENO (2), TO INTEGRAL ha; i, GDE | L@BAQ
ORIENTIROWANNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ S NA^ALOM W TO^KE x0 I KONCOM
W TO^KE x1, ZAWISIT LI[X OT TO^EK x0 I x1 I NE ZAWISIT OT SAMOJ KRIWOJ.
dEJSTWITELXNO, ESLI 1 | E]E ODNAZTAKAQ KRIWAQ, TO 2 = , 1 [ |
ZAMKNUTYJ KONTUR I SLEDOWATELXNO, ha; i = 0; OTKUDA
                                         2
               Z    Z    Z    Z     Z         Z      Z    Z
                   = , = ,[                  + ]=,       = :
                         2         , 1            , 1     1

                                   290