Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 296 стр.

 (A)  = fr(u; v) : (u; v) 2 ,g ( R3),
 (B) KOORDINATNYE FUNKCII x(u; v); y(u; v); z(u; v) GLADKIE W              , , PRI^EM

 (1) jJ (x(u; v); y(u; v))j2 + jJ (y(u; v); z(u; v))j2
                                         +jJ (z(u; v); x(u; v))j2 6= 0 ((u; v) 2 ).
    z A M E ^ A N I Q. 2. uDOBNO POLXZOWATXSQ WEKTORNOJ ZAPISX@, POLAGAQ
r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k, GDE i; j; k | EDINI^NYE ORTY OSEJ
OX; OY; OZ SOOTWETSTWENNO. w \TOM SLU^AE USLOWIE (B) P. 1 OZNA^AET, ^TO
                                       i         j   k
                         ru0  rv0 @x       @y @z
                                      @u @u @u 6= 0;
                                      @x @y @z
                                      @v @v @v
GDE OPREDELITELX W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA FORMALXNO RASKRYWA-
ETSQ PO PERWOJ STROKE. wEKTOR ru0 rv0 QWLQETSQ WEKTOROM NORMALI K DANNOJ
POWERHNOSTI, I TREBOWANIQ, NALOVENNYE NA POWERHNOSTX, OZNA^A@T, ^TO
POWERHNOSTX OBLADAET W KAVDOJ TO^KE NORMALX@. oTMETIM, ^TO
 (2) kru0  rv0 k2 = jJ (x(u; v); y(u; v))j2 + jJ (y(u; v); z(u; v))j2
                                                              +jJ (z(u; v); x(u; v))j2.
    3. eSLI (u0 ; v0) 2 , TO ODIN IZ OPREDELITELEJ W (1) OTLI^EN OT NULQ.
pUSTX, NAPRIMER, J (x(u0; v0); y(u0; v0)) 6= 0: tOGDA PO TEOREME O SU]ESTWO-
WANII NEQWNOJ FUNKCII SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U (u0; v0)  TAKAQ, ^TO
URAWNENIQ x = x(u; v); y = y(u; v) W \TOJ OKRESTNOSTI RAZRE[IMY OTNO-
SITELXNO u; v : u = u(x; y); v = v(x; y). pODSTAWIW \TI WYRAVENIQ W URAW-
NENIE z = z(u; v), POLU^IM, ^TO NEKOTORYJ KUSOK s   OPISYWAETSQ URAW-
NENIEM z = f (x; y), GDE f (x; y) = z(u(x; y); v(x; y)). iTAK, DLQ L@BOJ TO^KI
(u0; v0) 2 SU]ESTWUET NEKOTORAQ OKRESTNOSTX U (u0; v0)  TAKAQ, ^TO
SOOTWETSTWU@]IJ EJ KUSOK s (IMENNO s = fr(u; v) j (u; v) 2 U (u0; v0)g)
BIEKTIWNO OTOBRAVAETSQ NA ODNU IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ.
    4. gLADKIE POWERHNOSTI f ; r : , ! R3 g I f          e ; re : e , ! R3g S^ITA-
@TSQ RAWNYMI, ESLI  = e I PARAMETRY u; v, OPREDELQ@]IE , SWQZANY
S PARAMETRAMI ; , OPREDELQ@]IMI e , DOPUSTIMYM OBRAZOM, TO ESTX
u = u(; ); v = v(; ) ((; ) 2 e , ), PRI^EM (A) \TO BIEKTIWNOE PRE-
OBRAZOWANIE NA e , (B) u(; ); v(; ) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY I
jJ (u; v)j 6= 0:
                                           296