Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 298 стр.

iMEEM
                                @z @y
             @z = 1 @u @u = J (z(u; v); y(u; v));
             @x       J (u; v) @z @y           J (u; v)
                                @v @v
             @z = J (x(u; v); z(u; v)):
             @y             J (u; v)
pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W (2) S U^ETOM (2) x185, POLU^AEM (1)). >
    2. pUSTX f ; r : , ! R3g | GLADKAQ POWERHNOSTX I f :  ! R |
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. tOGDA INTEGRAL
            Z       ZZ
(3)           f  f (x(u; v); y(u; v); z(u;v))kru0  rv0 k dudv
            
NAZYWAETSQ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM 1-GO RODA OT FUNKCII f PO PO-
WERHNOSTI .
   z A M E ^ A N I Q. 3. dANNOE OPREDELENIE KORREKTNO: WELI^INA (3) NE ZA-
WISIT OT WYBORA DOPUSTIMOJ PARAMETRIZACII POWERHNOSTI (ISPOLXZUJTE
DLQ \TOGO OBY^NU@ PROCEDURU ZAMENY PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE
(!!)).
    4.eSLI POWERHNOSTX  ZADANA W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT
URAWNENIEM z = z(x; y) ((x; y) 2 , ), TO
          Z     ZZ                       @z )2 + ( @z )2]1=2 dxdy:
            f = f (x; y; z(x; y))[1 + ( @x         @y
          

     x187. pOTOK WEKTORA ^EREZ ORIENTIROWANNU@ POWERHNOSTX
     1. pUSTX f ; r : , ! R3g | GLADKAQ POWERHNOSTX. iSPOLXZUQ WEK-
TORNU@ ZAPISX, POLOVIM r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k. kAK UVE
OTME^ALOSX (185.2), GLADKAQ POWERHNOSTX OBLADAET W KAVDOJ TO^KE NOR-
MALX@     ru0  rv0 . nORMIRUQ \TOT WEKTOR, POLU^IM ORT NORMALI n(u; v) =
 ru  rv . oTMETIM, ^TO NA SAMOM DELE MOVNO GOWORITX O DWUH NORMA-
   0     0
kru0  rv0 k
LQH n(u; v), KOTORYM SOOTWETSTWU@T DWE \STORONY" POWERHNOSTI. mOV-
NO, ODNAKO, WSEGDA S^ITATX, ^TO WPEREDI STOIT ZNAK +, TAK KAK (ESLI \TO
NEOBHODIMO) MOVNO POMENQTX MESTAMI PARAMETRY u; v.
                                   298