Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 299 стр.

   gLADKAQ POWERHNOSTX f; rg NAZYWAETSQ ORIENTIROWANNOJ, ESLI NA 
ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NORMALI n(
) :  ! R3. bUDEM PISATX 
(WMESTO ), ESLI POWERHNOSTX ORIENTIROWANA.
   2. pUSTX G( R3) | OBLASTX, W KOTOROJ ZADANO NEPRERYWNOE WEKTORNOE
POLE
      a(x; y; z) = (x; y; z)i + (x; y; z)j + (x; y; z)k ((x; y; z) 2 G);
I W G LEVIT GLADKAQ ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX f; rg, GDE r(u; v) =
x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k, A n(u; v) | SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCIQ NOR-
MALI. pOTOKOM WEKTORNOGO POLQ a ^EREZ POWERHNOSTX  NAZYWAETSQ PO-
WERHNOSTNYJ INTEGRAL (1-GO RODA)
 Z          ZZ
   ha; ni = [ (x; y; z)J (y; z) + (x; y; z)J (z; x) + (x; y; z)J (x; y)] dudv
 
(ZDESX x; y; z | FUNKCII u; v). fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ: ESLI W G IMEET
MESTO STACIONARNOE TE^ENIE VIDKOSTI, a(x; y; z) | EE SKOROSTX W TO^KE
(x; y; z), TO POTOK SKOROSTI ^EREZ POWERHNOSTX  | KOLI^ESTWO VIDKOS-
TI, PROHODQ]EE ^EREZ POWERHNOSTX  ZA EDINICU WREMENI W NAPRAWLENII
ORIENTACII .
     x188. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA
     1. kAK OTME^ALOSX WY[E (183.2), W PROSTRANSTWE R3 IME@TSQ DWE ORI-
ENTACII. nAZOWEM ORIENTACI@, OPREDELQEMU@ UPORQDO^ENNYM BAZISOM
i; j; k POLOVITELXNOJ (TERMINOLOGIQ USLOWNAQ), A ORIENTACI@, OPREDELQ-
EMU@ BAZISOM j; i; k | OTRICATELXNOJ. pRI POLOVITELXNOJ ORIENTACII
KRAT^AJ[IJ POWOROT OT OSI OX K OSI OY SOWER[AETSQ PO ^ASOWOJ STREL-
KE, ESLI SMOTRETX WDOLX POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI OZ (rIS. 26).
eSLI TEPERX ZADANA ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX , TO MOVNO GOWORITX
OB ORIENTACII KONTUROW, OGRANI^IWA@]IH \TU POWERHNOSTX ILI KAKU@-
LIBO EE ^ASTX. dEJSTWITELXNO, ESLI n0 | NORMALX K ^ASTI , WYREZAEMOJ
[AROM MALOGO RADIUSA " S CENTROM W TO^KE (x0; y0; z0), TO KONTUR , OGRA-
NI^IWA@]IJ \TOT KUSOK, DOLVEN PROBEGATXSQ PO ^ASOWOJ STRELKE (ESLI
SMOTRETX WDOLX NORMALI n0) (rIS. 27).
     2. rASSMOTRIM TEPERX ZADA^U WY^ISLENIQ POTOKA WEKTORA ^EREZ ORIEN-
TIROWANNU@ POWERHNOSTX W DEKARTOWYH KOORDINATAH. pUSTX POWERHNOSTX
                                    299