Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 319 стр.

oSTAETSQ U^ESTX PROIZWOLXNOSTX ".
    8. mERA , OPREDEL  ENNAQ USLOWIQMI TEOREMY 3, NAZYWAETSQ MEROJ lE-
BEGA, POSTROENNOJ PO MERE m NA POLUKOLXCE S.
    9. oTMETIM, W ^ASTNOSTI, ESLI E = [0; 1]; S | POLUKOLXCO PROMEVUT-
KOW ha; bi  [0; 1] I mha; bi = b , a, TO KLASS L(S; m) QWLQETSQ ALGEBROJ
IZMERIMYH PO lEBEGU MNOVESTW NA E , A  = j L NAZYWAETSQ MEROJ
lEBEGA NA OTREZKE [0; 1]. aNALOGI^NO, ESLI S | KLASS PRQMOUGOLXNIKOW
W [0; 1]  [0; 1], A m | PLO]ADX, TO SOOTWETSTWU@]AQ MERA NAZYWAETSQ
PLOSKOJ MEROJ lEBEGA NA [0; 1]  [0; 1].
    10. p R I M E R [NEIZMERIMOGO PO lEBEGU MNOVESTWA]. pUSTX  |
LINEJNAQ MERA lEBEGA NA PROMEVUTKE [,1; 2), I R | OTNO[ENIE \KWIWA-
LENTNOSTI NA [0; 1) : R(x; y), ESLI x , y 2 Q. tOGDA [0; 1) RAZBIWAETSQ NA
NEPERESEKA@]IESQ SMEVNYE KLASSY. wYBEREM W KAVDOM KLASSE PO ODNOJ
TO^KE I OBRAZUEM IZ NIH MNOVESTWO X  [0; 1). pOKAVEM, ^TO X NEIZ-
MERIMO. pUSTX, NAPROTIW, X IZMERIMO. tOGDA (X + q) = X (q 2 Q),
GDE X + q = fx + q j x 2 X g. eSLI q1; q2; : :1: | POSLEDOWATELXNOSTX WSEH
RACIONALXNYH ^ISEL IZ [,1; 1), TO [0; 1)  P (X + qk )  [,1; 2). sLEDOWA-
                                             k=1
TELXNO,
                           X1              X1
                       1  (X + qk ) = X  3;
                          k=1            k=1
^TO NEWOZMOVNO (X = 0 PROTIWORE^IT OCENKE SNIZU, A X > 0 | OCENKE
SWERHU).
   u P R A V N E N I Q. 11. pUSTX m | MERA NA POLUKOLXCE S S 1, A m0
| EE PRODOLVENIE NA E(S). pOKAVITE, ^TO DLQ X  E :
   (A) X =       inf      P m0X ,
                                   n
              X [Xn ;Xn 2E(S)
   (B) ESLI A 2 E(S); X \ A = ;, TO (X + A) = X + m0A.
   12. pUSTX  | MERA lEBEGA NA L(S; m) A  | MERA, OPREDEL
                                                           ENNAQ NA
L(S; m) I TAKAQ, ^TO  j S = m. uBEDITESX, ^TO  = .
   13. w OBOZNA^ENIQH 192.9:  f! 2 j
                                        P
                                        1
                                          !i < 1g = 0.
                                         i=1




                                   319