Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 339 стр.

                   integral lebega
    dLQ IZMERIMYH FUNKCIJ DEJSTWITELXNOGO PEREMENNOGO OPREDELENIE
INTEGRALA rIMANA OKAZYWAETSQ NE O^ENX UDA^NYM. nAPRIMER, IZWESTNAQ
FUNKCIQ dIRIHLE   [0;1]\Q IZMERIMA, OGRANI^ENA, NO NE INTEGRIRUE-
MA PO rIMANU NA OTREZKE [0; 1] (SM. 48.4). nETRUDNO USTANOWITX PRI^INU
\TOGO: PRI SOSTAWLENII RIMANOWOJ SUMMY DLQ FUNKCII f OBLASTX INTEG-
RIROWANIQ RAZBIWAETSQ NA MELKIE OTREZKI 
k , I ZNA^ENIE f (x) W KAVDOJ
TO^KE OTREZKA 
k ZAMENQETSQ EE ZNA^ENIEM W NEKOTOROJ TO^KE k 2 
k .
|TA PROCEDURA ESTESTWENNA, LI[X ESLI ZNA^ENIQ f (x) W BLIZKIH TO^KAH
BLIZKI MEVDU SOBOJ, TO ESTX KOGDA f NEPRERYWNA ILI U NEE IMEETSQ NE
SLI[KOM MNOGO TO^EK RAZRYWA. oSNOWNAQ IDEQ INTEGRALA lEBEGA ZAKL@-
^AETSQ W TOM, ^TO PRI SOSTAWLENII INTEGRALXNOJ SUMMY TO^KI IZ OBLASTI
INTEGRIROWANIQ GRUPPIRU@TSQ NE PO PRAWILU BLIZOSTI IH MEVDU SOBOJ,
A PO PRIZNAKU BLIZOSTI ZNA^ENIJ FUNKCII W \TIH TO^KAH. pREIMU]ESTWO
TAKOGO PODHODA ZAKL@^AETSQ E]E I W TOM, ^TO OKAZYWAETSQ WOZMOVNYM
OPREDELITX UNIWERSALXNYM OBRAZOM PONQTIE INTEGRALA DLQ FUNKCIJ, ZA-
DANNYH NA PROIZWOLXNYH MNOVESTWAH, GDE OPREDELENA NEKOTORAQ MERA.
|TO WAVNO WO MNOGIH ZADA^AH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI, GDE NEOBHODIMO
UMETX INTEGRIROWATX PO BESKONE^NOMERNYM MNOGOOBRAZIQM.
    w \TOJ GLAWE (ESLI NE OGOWORENO SPECIALXNO)  | POLNAQ KONE^NAQ
MERA NA NEKOTOROJ -ALGEBRE A W E ; WSE RASSMATRIWAEMYE PODMNOVEST-
WA E S^ITA@TSQ PRINADLEVA]IMI A, A WSE RASSMATRIWAEMYE FUNKCII
S^ITA@TSQ IZMERIMYMI.
    x207. oPREDELENIE INTEGRALA lEBEGA
P 1. pUSTXP  (E; A; ) | PROSTRANSTWO S MEROJ. pROSTAQ FUNKCIQ f =
     n n ( Xn = E ) NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ (PO lEBEGU), ESLI
Pn j jXX   n                  P
      n    n < +1; SUMMA RQDA n Xn NAZYWAETSQ INTEGRALOM lEBEGA
 n                             Zn
OT FUNKCII f I OBOZNA^AETSQ f d. tAKIM OBRAZOM,
                        Z X              X
                         ( n Xn )d   n Xn :
                        n              n


                                 339