Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 342 стр.

 uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ g(x)  0. |TO TAK, ESLI f  0
| PROSTAQ (!!). w OB]EM SLU^AE POLOVIM
                   X1 k
              fn = n Ak ; GDE Ak = f ,1 ([ nk ; k +n 1 )); n 2 N:
                   k=0
tOGDA 0  f (x) , fn(x)  n1 . oTS@DA fn =) f; f , fn | OGRANI^ENY
I SOGLASNO P. 5 INTEGRIRUEMY. tAK KAK f INTEGRIRUEMA, IZ RAWENSTWA
fn = (fn , f )+ f SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX
                           Z             Z fn. pO POSTROENI@ fn PROSTYE
I fn  0. sLEDOWATELXNO, f d = lim   n fn d  0: >
   7. fUNKCIQ f NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ PO MNOVESTWU A 2 A, ESLI
INTEGRIRUEMA FUNKCIQZ    f 
 ZA ; INTEGRALOM FUNKCII f PO MNOVESTWU A
NAZYWAETSQ ^ISLO f d  fA d.
                     A
    8. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, TO ONA INTEGRIRUEMA PO KAVDOMU
MNOVESTWU A 2PA.
   eSLI f = n  | PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO fA =
P   I P jn jB BAn  P j jB < +1, TO ESTX f | TAKVE PROSTAQ
    n Bn A     n    n       n      n              A
 n          n            n
INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ I
                      Z X             X
(1)                    ( n Bn ) d = n ABn :
                         A   n            n
w OB]EM SLU^AE, ESLI f INTEGRIRUEMA I fn | POSLEDOWATELXNOSTX PROS-
TYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ, fn =) f , TO fn A =) fA . pO\TOMU fA
TAKVE INTEGRIRUEMA. >
   sLEDU@]EE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ SWOJSTWOM ABSOL@TNOJ NEPRE-
RYWNOSTI INTEGRALA lEBEGA.             Z
   9. eSLI A = 0 I f INTEGRIRUEMA, TO f d = 0:
                                              A
  uTWERVDENIE SLEDUET IZ (1) DLQ PROSTOJ f . oB]IJ SLU^AJ POLU^AETSQ
STANDARTNYM PREDELXNYM PEREHODOM (!!). >
      10.   pUSTX f INTEGRIRUEMA I E = P Ak . tOGDA
                                       k
                             Z        XZ
(2)                            f d =    f d;
                                      k Ak

                                    342