Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 343 стр.

PRI^EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ ABSOL@TNO.
  dLQ PROSTOJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII f = Pn n Bn :
           PjZ f dj = PjP  B A j  P j jB A
                                    n     n k               n   n k
              kA             k n                      k;n
                        Pn jn j Pk Bn Ak = Pn jnjBn < +1:
                k


|TO OZNA^AET
     P       ABSOL@TNU@ SHODIMOSTX RQDA W PRAWOJ ^ASTI (2), A TAKVE
RQDA jn jBnAk . tEPERX
     k;n
  Z        X          XX               XX              XZ
    f d = n Bn =        n Bn Ak =     n Bn Ak =      f d:
              n             n k                       k n                 k Ak
eSLI f | INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO, PO OPREDELENI@ 4, DLQ WSQKOGO
" > 0 SU]ESTWUET PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ
                              Z        Z FUNKCIQ g TAKAQ   Z, ^TO
                                    P                    P
kf , gkE < ". pO DOKAZANNOMU g d = k g d, PRI^EM RQD k g d
                                      Ak                   Ak
SHODITSQ ABSOL@TNO. iZ OCENKI
     XZ          XZ              XZ               XZ
        j f dj  j (f , g) dj + j g dj  "E + j g dj
       k Ak          k Ak                      k Ak                    k Ak

SLEDUET, ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI (2) SHODITSQ ABSOL@TNO. iTAK,
    Z             Z        Z                 Z          Z
   j f d , Pk f dj = j (f , g) d + Pk g d , Pk f dj
                Z Ak         P Z             Ak        Ak
            = j (f , g)d +      (g , f ) dj  2kf , gk E < 2"E:E
                                   kA
                                     k
iZ PROIZWOLXNOSTI " POLU^AEM (2). >
    11. eSLI jf j  ' I ' INTEGRIRUEMA, TO f INTEGRIRUEMA.
  eSLI f I ' PROSTYE, TO SU]ESTWUET NE BOLEE ^EM S^ETNOE RAZBIENIE
fAng MNOVESTWA E , ^TO f = Pn n An ; ' = Pn n An , PRI^EM jn j  n (n 2
N). tOGDA
           P j jA  P  A < +1, TO ESTX f INTEGRIRUEMA. ~ITA-
                n    n      n n
           n              n
TELX UVE OWLADEL STANDARTNYMI PRIEMAMI, ^TOBY DOKAZATX UTWERVDENIE
W OB]EM SLU^AE. >
                                         343