Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 348 стр.

                     Z jf j                  
   10. pOKAVITE, ^TO      n d ! 0 TTOGDA f ,! 0:
                      1 + jfnj             n

    x209. zAMENA PEREMENNOJ W INTEGRALE lEBEGA
    1. bUDEM GOWORITX, ^TO OTOBRAVENIE ' : E ! E IZMERIMO, ESLI
' (X ) 2 A WSQKIJ RAZ, KOGDA X 2 A. eSLI  | MERA NA -ALGEBRE
 , 1
A, TO SO WSQKIM OTOBRAVENIEM ' MNOVESTWA E W SEBQ MOVNO SWQZATX
ESTESTWENNYM OBRAZOM NOWU@ MERU ', OPREDELENNU@ NA A RAWENSTWOM
'(X )  ',1 (X ) (X 2 A).
   -ADDITIWNOSTX
        T             ' SLEDUET IZ RAWENSTWA
                                      T       (ESLI ZAMETITX, ^TO
' (X ) ' (Y ) = ; WSQKIJ RAZ, KOGDA X Y = ;):
 , 1       , 1

        '(Pn Xn ) = (',1(Pn Xn )) = (Pn ',1(Xn )) = Pn (',1(Xn ))
                   = Pn '(Xn ): >
   2.pUSTX OTOBRAVENIE ' : E ! E IZMERIMO I f : E ! R | IZMERI-
MAQ FUNKCIQ. tOGDA SPRAWEDLIWO RAWENSTWO
                        Z           Z
(1)                       f  ' d = f d':
W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ EGO ^ASTEJ, TO OPREDELENA
I DRUGAQ (I ONI RAWNY).
  pUSTX SNA^ALA f = Pn n An | PROSTAQ FUNKCIQ. tOGDA f  ' =
P 
   n ',1 (An ) , I ESLI LEWAQ ^ASTX (1) OPREDELENA, TO
n
           Z              X                 X          Z
               f  ' d = n ',1 (An) = n ' (An) = f d'
                         n                 n
(PRI \TOM Pn jn j'(An) = Pn jn j',1(An) < +1). iZ (2) SLEDUET TAK-
VE, ^TO ESLI OPREDELENA EGO PRAWAQ ^ASTX, TO OPREDELENA I LEWAQ (I ONI
RAWNY).
   pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@. pUSTX f  ' INTEGRIRUEMA. pOLOVIM
                  8m,1             m,1          m I f (x)  0,
                  <
         fn(x) = : mn ; ESLI m n, 1  f (x) < m n
                    , n ; ESLI n  f (x) < n I f (x) < 0.
                                    348