Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 349 стр.

pO POSTROENI@ jfn j  jf j, TAK ^TO j(fn  ')(x)j  j(f  ')(x)j(x 2 E ).
kROME TOGO, fn =) f , A ZNA^IT, fn  ' =) f  '. iZ 207.4 I RAWENSTWA (1)
DLQ PROSTYH FUNKCIJ NAHODIM
         Z                 Z               Z          Z
            f  ' d = lim
                         n fn  ' d = lim
                                         n fn d' = f d' :
oTS@DA VE SLEDUET, ^TO ESLI f INTEGRIRUEMA PO MERE ' , TO f  ' INTEG-
RIRUEMA PO  (I INTEGRALY RAWNY). >
   x210. sRAWNENIE INTEGRALOW rIMANA I lEBEGA
   1. oGRANI^IMSQ SLU^AEM OTREZKA E = [0; 1]. pUSTX f INTEGRIRUEMA
PO rIMANU. tOGDA SOOTWETSTWU@]IJ INTEGRAL MOVNO PREDSTAWITX KAK
PREDEL NIVNEJ ILI WERHNEJ SUMMY dARBU:
      Z1                                         P
                                                 2n (nk)
   (R) f (x) dx = lim
       0
                      S
                    n n = lim S
                            n n , GDE S n = 2 ,n    ,
                                                  k=1

       S n = 2,n P (nk); (nk) = sup f (x); (nk) = x2inf
                    2n
                                                         
nk
                                                             f (x);
                   k=1              x2
nk
      
nk = [(k , 1)2,n ; k2,n ); k = 1; : : :; 2,n , 1;
     
n2n = [1 , 2,n ; 1]:
oPREDELIM DWE POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ
                       X
                       2n
                          ( nk )            X2n
               f n =  
nk ; f n = (nk)
nk ;
                       k=1                  k=1
PRI \TOM f 1  f 2  : : :; f 1  f 2  : : :. eSLI U^ESTX, ^TO f OGRANI^ENA
(BUDU^I INTEGRIRUEMOJ PO rIMANU), TO OTS@DA SLEDUET, ^TO SU]ESTWU@T
      Z f I f TAKIEZ , ^TO f n ! f  f; f n ) f  f . iZ OPREDELENIQ
FUNKCII
207.1 f n d = S n; f n d = Sn (ZDESX  | LINEJNAQ MERA lEBEGA). w
SILU 208.4
  Z             Z                           Z1                        Z
    f d = lim     f d = lim  n S n = (R) 0 f (x) dx = lim
                                                          n S n = lim
                                                                    n f n d
             Zn n
         = f d:

                                    349