Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 364 стр.

pUSTX f = P j Aj (j  0) | PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ (PO MERE ) FUNK-
            j
CIQ (TO ESTX Pj j Aj < +1). tOGDA
       Z               X         XZ Z                  XZ
(3)      f d(  ) = j Aj =       [ j Aj d] d =    j d;
                          j         j                      j
          Z                                            P Z
GDE j  j Aj d ( 0) INTEGRIRUEMY PO MERE  , I RQD              j d   SHO-
DITSQ. w SILU 208.5
                    XZ          Z XZ
(4)                      j d =   [  j Aj d] d:
                      j                     j
fUNKCII j Aj (x; 
) : E2 ! R (x 2 E1) INTEGRIRUEMY PO MERE , I RQD IZ
INTEGRALOW SHODITSQ. sNOWA W SILU 208.5
      Z XZ                     Z Z X                 Z Z
(5)     (       j Aj d) d = ( ( j Aj ) d) d = ( f d) d:
              j                         j
sOPOSTAWLQQ (3) { (5), ZAKL@^AEM, ^TO TEOREMA fUBINI SPRAWEDLIWA DLQ
PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.
   pUSTX, NAKONEC, f  0 | PROIZWOLXNAQ INTEGRIRUEMAQ (PO MERE   )
FUNKCIQ. wOZXMEM POSLEDOWATELXNOSTX fn INTEGRIRUEMYH PROSTYH FUNK-
CIJ TAKU@, ^TO fn =) f; f1  f2  : : :. tOGDA
            Z                   Z                         Z Z        
              f d(  ) = limn   f n  d (     ) = lim
                                                        n      f n d   d:
                  Z
fUNKCII 'n  fn d (n 2 N) UDOWLETWORQ@T USLOWIQM TEOREMY lEWI
(SM. 208.4). sLEDOWATELXNO,
              Z Z              Z Z                      Z Z        
         lim
           n        f n d  d =      lim
                                        n     f n d   d =        f d   d:

   x215. iNTEGRAL PO -KONE^NOJ MERE
   1. pUSTX  : A ! R+ [ f+1g | POLNAQ  -KONE^NAQ MERA NA  -ALGEBRE
A W MNOVESTWE E . kLASS R  fA 2 A j (A) < +1g QWLQETSQ TOGDA

                                    364