Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 369 стр.

  polnye metri~eskie prostranstwa
   x216. pOPOLNENIE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA
   1. mETRI^ESKIE PROSTRANSTWA (M; d) I (M 0 ; d0) (SM. 92.1) NAZYWA@T-
SQ IZOMETRI^ESKI IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET BIEKCIQ j : M ! M 0
TAKAQ, ^TO d0(j (x); j (y)) = d(x; y) (x; y 2 M ). uKAZANNAQ BIEKCIQ j NAZY-
WAETSQ IZOMETRIEJ PROSTRANSTWA M NA PROSTRANSTWO M 0.
   2. pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOLNOE METRI^ESKOE
PROSTRANSTWO (M; ) (SM. 92.10) NAZYWAETSQ POPOLNENIEM (M; d), ESLI M
IZOMETRI^ESKI IZOMORFNO PLOTNOJ ^ASTI PROSTRANSTWA M.
   3. t E O R E M A. kAVDOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET PO-
POLNENIEM, KOTOROE EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMETRII.
  eDINSTWENNOSTX. pUSTX (M; ); (N; 
) | DWA POPOLNENIQ METRI^ES-
KOGO PROSTRANSTWA (M; d); j : M ! M; J : M ! N | IZOMETRII M NA
PLOTNYE ^ASTI PROSTRANSTW M I N. oPREDELIM OTOBRAVENIE f : M ! N
SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ KAVDOJ TO^KI  2 M WOZXMEM KAKU@-NIBUDX
POSLEDOWATELXNOSTX j (xn), SHODQ]U@SQ K , I POLOVIM
(1)                         f ()  lim
                                      n J (xn ):
oTOBRAVENIE f KORREKTNO ZADANO: WO-PERWYH, PREDEL W PRAWOJ ^ASTI (1)
SU]ESTWUET, TAK KAK J (xn) FUNDAMENTALXNA fDEJSTWITELXNO,

(J (xn); J (xm)) = d(xn ; xm) ! 0 (n; m ! 1)g, WO-WTORYH, \TOT PREDEL NE
ZAWISIT OT WYBORA (xn): ESLI (x0n) | E]E ODNA POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ,
^TO j (x0n) ! , TO d(xn ; x0n) ! 0 I PO\TOMU 
(J (xn); J (x0n)) = d(xn; x0n) !
0. pOKAVEM, ^TO f | IZOMETRIQ. pUSTX j (xn) ! ; j (yn) !  (;  2 M
| PROIZWOLXNY). tOGDA
 
(f (); f ()) = limn 
(J (xn ); J (yn)) = lim
                                               n d(xn ; yn ) = lim
                                                                 n  (j (xn ); j (yn ))
                 = (; );
TO ESTX f SOHRANQET RASSTOQNIE. oTS@DA SLEDUET, ^TO f | IN_EKCIQ.
pOKAVEM, NAKONEC, ^TO f | S@R_EKCIQ. pUSTX  2 N | PROIZWOLEN I
J (xn) !  (xn 2 M ). tOGDA j (xn) | FUNDAMENTALXNA I, SLEDOWATELXNO,

                                         369