Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 371 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

pO\TOMU SU]ESTWUET  2 M TAKOE, ^TO (xn) 2 . pRI \TOM (n) !  PO
METRIKE :
(; (n) )  (; j (xn )) + (j (xn); (n) ) < lim d ( x   ; x   ) + 1 ! 0 (n ! 1): >
                                                           k     n
                                                   k                   n
   4. p R I M E R. pOPOLNENIE INTERWALA (a; b)  R MOVNO OTOVDESTWITX
S OTREZKOM [a; b].
   x217. sWOJSTWA POLNYH METRI^ESKIH PROSTRANSTW
   1. t E O R E M A [O WLOVENNYH [ARAH]. w POLNOM METRI^ESKOM PRO-
STRANSTWE WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH DRUG W DRUGA ZAMK-
NUTYH [AROW, RADIUSY KOTORYH STREMQTSQ K NUL@, OBLADAET OB]EJ
TO^KOJ.
  dANO  (SM. 92.2): Br1 [x1]  Br2 [x2]  : : : ; rn ! 0. tREBUETSQ DOKAZATX:
       T
       1
9x 2 k=1 Brk [xk ].
   pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) | FUNDAMENTALXNA fTAK KAK xn+p 2 Brn [xn];
d(xn; xn+p )  rn ! 0 g. pUSTX x = lim xn; x | ISKOMAQ TO^KA: DEJSTWI-
TELXNO,
             d(x; xn)  d(x; xn+p ) + d(xn; xn+p)  d(x; xn+p) + rn ;
PEREHODQ K PREDELU PO p, POLU^IM d(x; xn)  rn, OTKUDA x 2 Brn [xn] DLQ
L@BOGO n 2 N: >
   2. mNOVESTWO S W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NIGDE NE
PLOTNYM (SR. 95.5), ESLI S , = ; (TO ESTX S , NE IMEET WNUTRENNIH TO^EK).
   3. p R I M E R Y: f1; 1       1
                             2 ; 3 ; : : :g NIGDE NE PLOTNO W R; Q NE NIGDE NE
PLOTNO W R (ONO PLOTNO W R).
   4. t E O R E M A [r. b\R]. pOLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO NE
QWLQETSQ OB_EDINENIEM S^ETNOGO ^ISLA NIGDE NE PLOTNYH 1MNOVESTW.
 pUSTX, NAPROTIW, POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO M = S A ; A, =   n=1
                                                                           n n
; (n 2 N). pOSTROIM POSLEDOWATELXNOSTX [AROW               Br1 [x1]  Br2 [x2] 
                                                                   :::
SO SWOJSTWAMI: rn ! 0; Brn [xn] \ An = ; (n 2 N). tOGDA TO^KA x, PRI-
NADLEVA]AQ WSEM \TIM [ARAM    (SU]ESTWU@]AQ PO TEOREME O WLOVENNYH
                        S
                        1
[ARAH), NE PRINADLEVIT n=1 An, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@.
                                         371

Страницы