Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 372 стр.

   pOSTROENIE PROWEDEM PO INDUKCII. tAK KAK A,          1 = ;, SU]ESTWUET
x1 2 A1 (INA^E A1 = M I A1 = M 6= ;). tAK KAK A,1 c OTKRYTO I MET-
       , c          ,            ,
RI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO (SM. 104.3), NAJDETSQ r1 (0 < r1 < 1)
TAKOE, ^TO Br1 [x1]  A,1 c. pRI \TOM Br1 [x1] \ A1 = ;. pUSTX UVE POSTROENY
[ARY
   Br1 [x1]  : : :  Brk [xk]; 0 < rn < n1 ; Brn [xn] \ An = ; (1  n  k):
dLQ POSTROENIQ (k + 1)-GO [ARA ZAMETIM, ^TO Brk (xk ) 6 A,k+1 (INA^E
; 6= Brk (xk )  A, k+1 = ;). pO\TOMU NAJDETSQ xk+1 2 Brk (xk ) \ Ak+1 ;
                                                                         ,c
PRI \TOM MNOVESTWO W PRAWOJ ^ASTI OTKRYTO. w SILU REGULQRNOSTI MET-
RI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAJDETSQ rk+1 (0 < rk+1 < k +1 1 ) TAKOE, ^TO
Brk+1 [xk+1]  Brk (xk ) \ A,k+1
                              c . pRI \TOM B [x ] \ A
                                            rk+1 k+1     k+1 = ;. pOSTROENIE
ZAWER[ENO. >
    5. u P R A V N E N I E. w MNOVESTWE N NATURALXNYH ^ISEL POLOVIM
                                0;
                    d(x; y) = 1 + (x + y),1; ESLI    x = y,
                                                       6 y.
                                                ESLI x =
    A) dOKAZATX, ^TO d | METRIKA;
    B) (N; d) | POLNOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO.
    W) POSTROITX W N POSLEDOWATELXNOSTX NEPUSTYH ZAMKNUTYH WLOVEN-
NYH [AROW, RADIUSY KOTORYH NE STREMQTSQ K NUL@, I NE SU]ESTWUET
TO^KI, PRINADLEVA]EJ WSEM [ARAM ODNOWREMENNO (SR. S FORMULIROWKOJ
TEOREMY O WLOVENNYH [ARAH).
    x218. pRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ
    1. oTOBRAVENIE f : M ! M METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA M W SEBQ
NAZYWAETSQ SVIMA@]IM (ILI SVATIEM ), ESLI
                9 < 1 8x; y 2 M (d(f (x); f (y))  d(x; y)):
o^EWIDNO, SVIMA@]EE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO:
                 xn ! x ) d(f (xn); f (x))  d(xn; x) ! 0:


                                     372