Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 370 стр.

SU]ESTWUET  2 M TAKOE, ^TO j (xn) ! . w SILU (1) OTS@DA SLEDUET, ^TO
f () = .
    sU]ESTWOWANIE. pUSTX  | MNOVESTWO WSEH FUNDAMENTALXNYH PO-
SLEDOWATELXNOSTEJ (xn) W PROSTRANSTWE M . wWEDEM W  OTNO[ENIE \KWI-
WALENTNOSTI  : ((xn); (yn)), ESLI d(xn ; yn) ! 0 (n ! 1). wOZXMEM W
KA^ESTWE M MNOVESTWO SMEVNYH KLASSOW (FAKTOR-MNOVESTWO) =. dLQ
L@BYH ;  2 M POLOVIM
(2)           (; )  lim
                          n d(xn ; yn ); GDE (xn ) 2 ; (yn ) 2 :
oPREDELENIE  KORREKTNO: WO-PERWYH, PREDEL W (2) SU]ESTWUET, TAK KAK
POSLEDOWATELXNOSTX (d(xn ; yn)) FUNDAMENTALXNA:
       jd(xn; yn) , d(xm; ym)j  d(xn; xm) + d(yn ; ym) ! 0 (n; m ! 1);
(MY ISPOLXZOWALI NERAWENSTWO: jd(a; b) , d(c; e)j  d(a; c) + d(b; e)). wO-
WTORYH, \TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTEJ (xn); (yn):
ESLI (x0n) 2 ; (yn0 ) 2  | DRUGIE FUNDAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI,
TO
               jd(x0n; yn0 ) , d(xn ; yn)j  d(xn ; x0n) + d(yn; yn0 ) ! 0;
IZ ^EGO I SLEDUET TREBUEMOE.
    oSTALOSX PROWERITX, ^TO (i)  | METRIKA W M, (ii) SU]ESTWUET IZOMET-
RIQ j PROSTRANSTWA M NA PLOTNU@ ^ASTX M, (iii) M | POLNOE METRI^ESKOE
PROSTRANSTWO.
    pROWERKA (i) TRIWIALXNA (!!). ~TOBY PROWERITX (ii), POLOVIM j (x)  ,
GDE  2 M TAKOE, ^TO fx; x; : : :g 2 . tOGDA
                           (j (x); j (y)) = d(x; y) (x; y 2 M );
PRI^EM j (M ) PLOTNO W M (DLQ  2 M WYBEREM (xn ) 2  I ZAMETIM, ^TO
j (xn) !  PO METRIKE ).
    pROWERIM, NAKONEC, POLNOTU M. pUSTX ((n) ) | FUNDAMENTALXNAQ PO-
SLEDOWATELXNOSTX W M I PUSTX xn 2 M TAKIE, ^TO ((n); j (xn)) < 1=n.
tOGDA (xn ) | FUNDAMENTALXNA W M f\TO SLEDUET IZ OCENKI:
 d(xn; xm) = (j (xn); j (xm))  (j (xn); (n) ) + ((n); (m)) + ((m); j (xm))
              < n1 + m1 + ((n); (m)) ! 0 (n; m ! 1)g:
                                       370