Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 377 стр.

  nEOBHODIMOSTX. w SILU P. 8  WPOLNE OGRANI^ENO, A ZNA^IT, OGRANI-
^ENO. pUSTX " > 0. rASSMOTRIM 3" -SETX '1; : : : ; 's DLQ . kAVDAQ FUNKCIQ
'j RAWNOMERNO NEPRERYWNA, TO ESTX
        8j 9 j > 0 8x; y 2 [a; b] (jx , yj < j ) j'j (x) , 'j (y)j < 3" ):
pOLOVIM  = min j (> 0). tOGDA
     8' 2  9'j (k' , 'j k  3" ) )
     8x; y 2 [a; b]; jx , yj <  ) j'(x) , '(y)j 
      j'(x) , 'j (x)j + j'j (x) , 'j (y)j + j'j (y) , '(y)j
      k' , 'j k + j'j (x) , '(y)j + k' , 'j k  ":
 nEOBHODIMOSTX USTANOWLENA (SM. POD^ERKNUTYJ TEKST).
     dOSTATO^NOSTX. pUSTX  OGRANI^ENO I RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO.
tREBUETSQ DOKAZATX (SM. P. 8), ^TO DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KONE^NAQ
"-SETX. pUSTX 
(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) | RAZLOVENIE OTREZKA
[a; b]; d(
) < . w OBOZNA^ENIQH P. 9 (S ZAMENOJ " NA 5" ) TOGDA j'(xj ) ,
'(xj,1)j < "5 (' 2 ; 1  j  n). pUSTX K > 0 TAKOWO, ^TO k'k  K (' 2
). rASSMOTRIM RAZLOVENIE 
(,K = y0 < y1 < : : : < ym = K ) OTREZKA
[,K; K ] DIAMETRA < 5" . kAVDOJ ' 2  SOPOSTAWIM POLIGON S UZLAMI
W (xk ; yj ), GDE DLQ DANNOGO k NOMER j OPREDELQETSQ, NAPRIMER, USLOWIEM
yj  '(xk ) < yj+1. tOGDA
              j'(xk ) , (xk )j < 5" (k = 1; : : :; n);
           j (xk) , (xk+1)j < j (xk ) , '(xk )j + j'(xk ) , '(xk+1)j
                                + j'(xk+1) , (xk+1)j < 35" :
dLQ PROIZWOLXNOGO x 2 [a; b] (xk | BLIVAJ[IJ UZEL K x SLEWA):
     j'(x) , (x)j  j'(x) , '(xk )j + j'(xk ) , (xk )j + j (xk ) , (x)j
                        25" + j (xk) , (xk+1)j < ":
nAKONEC, ^ISLO POLIGONOW OPISANNOGO WIDA, O^EWIDNO, KONE^NO. >
     11. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO MNOVESTWO

                    = f' 2 C [0; 1]j 0  '(x)  1 (0  x  1)g
NE RAWNOSTEPENNO NEPRERYWNO W C [0; 1].
                                    377