Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 380 стр.

   8.  w PROSTRANSTWE C 2 S NORMOJ k 
 k1 (SM. UPR. 7) NAJDITE WSE \LEMEN-
TY NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ K WEKTORU f = (1; 0) OTNOSITELXNO PODPRO-
STRANSTWA X = f(u; v) j u = vg.
    x221. {KALA PROSTRANSTW Lp() (1  p  1)
    sOGLA[ENIQ: (E; A; ) | PROSTRANSTWO S POLNOJ -KONE^NOJ MEROJ,
M = M (E; A; ) | WEKTORNOE PROSTRANSTWO WSEH IZMERIMYH FUNKCIJ
f : E ! C (ILI R), FAKTORIZOWANNOE PO OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI 
(f  g, ESLI f (x) = g(x) P. W.). dOPUSKAQ WOLXNOSTX, \LEMENTY PROSTRAN-
STWA M MY NAZYWAEM FUNKCIQMI.
    1. wWED EM SLEDU@]IE KLASSY FUNKCIJ I ^ISLOWYE FUNKCII NA \TIH
KLASSAH:
                                      Z
               Lp()  fZf 2 M j jf jp d < +1g;
                kf kp  [ jf jp d]1=p (f 2 Lp()); 1  p < +1;
             L1 ()  ff 2 M j 9k > 0 (jf (x)j  k P. W.)g;
               kf k1  inf fk : jf (x)j  k P. W. (f 2 L1 ()):
    nA^NEM ANALIZ S KLASSA L1 (). pREVDE WSEGO, L1() | WEKTORNOE
PROSTRANSTWO NAD POLEM C (!!). dALEE,
    2. jf (x)j  kf k1 P. W. NA E .
    3. fUNKCIQ kf k1 | NORMA NA L1 ().
  iZ P. 2 SLEDUET NEMEDLENNO, ^TO kf k1 = 0 ) f (x) = 0 P. W., A ZNA^IT,
f = . sNOWA S U^ETOM P. 2 IMEEM DLQ f; g 2 L1 ():
              jf (x) + g(x)j  jf (x)j + jg(x)j  kf k1 + kgk1 P. W.;
OTKUDA kf + gk1  kf k1 + kgk1: >
    4. pROSTRANSTWO L1 () S NORMOJ kf k1 QWLQETSQ BANAHOWYM PRO-
STRANSTWOM.
  pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn ) FUNDAMENTALXNA W L1(). tOGDA IZ
OCENKI (SM. P. 2)
                      jfn+p (x) , fn(x)j  kfn+p , fnk1 P. W.
                                   380