Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 382 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   7.  [iNTEGRALXNYE NERAWENSTWA gELXDERA I mINKOWSKOGO].
    (A) pUSTX f 2 Lp(); g 2 Lq (), PRI^EM p1 + 1q = 1. tOGDA fg 2 L1()
I kfgk1  kf kp  kgkq .
    (B) pUSTX f; g 2 Lp(). tOGDA f + g 2 Lp(), PRI^EM
kf + gkp  kf kp + kgPkp.
  (A). pUSTX f = iXi 2 Lp(); g = P iXi 2 Lq () | PROSTYE
FUNKCII, 1p + 1q = 1 (IZMERIMOE RAZLOVENIE E = P             P X MOVNO S^ITATX,
                                                                   i
O^EWIDNO, OB]IM DLQ OBEIH FUNKCIJ). tOGDA fg = i iXi I, ISPOLXZUQ
NERAWENSTWO gELXDERA DLQ RQDOW (SM. 41.3), IMEEM
            P j  jX = P[j jX 1=p  j jX 1=q ]
                 i i     i            i           i
                              [P ji jpXi ]1=p  [P jijqXi ]1=q < +1:
                                           i           i

tAKIM OBRAZOM, fg 2 L1() I (a) SPRAWEDLIWO. w OB]EM SLU^AE RASSMOT-
RIM POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ fn ! f 2 Lp(); gn ! g 2
Lq () P. W., jfn j  jf j; jgn j  jgj. tOGDA fn gn ! fg P. W. I IZ OCENKI
           Z                Z               Z
              jfngn j d  [Z jfnjp d]1=pZ [ jgnjq d]1=q
                           [ jf jp d]1=p[ jgjq d]1=q = kf kp  kgkq
SLEDUET, ^TO fngn 2 L1(). w SILU TEOREMY fATU 208.6 jfgj 2 L1() I
SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (A).
   (B). dLQ FIKSIROWANNOGO x 2 E SPRAWEDLIWY NERAWENSTWA
      jf (x) + g(x)jp  [2 maxfjf (x)j; jg(x)jg]p  2pfjf (x)jp + jg(x)jpg;
IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO f + g 2 Lp() DLQ f; g 2 Lp(). pOSKOLXKU
(p , 1)q = p DLQ q TAKOGO, ^TO p1 + 1q = 1, FUNKCIQ jf + gjp,1 PRINAD-
LEVIT KLASSU Lq (). iSPOLXZUQ (A), IMEEM
                            Z                 Z
             kf + gkp = Z jf + gj d = jf +Z gj jf + gjp,1 d
                       p              p

                          Z jf j jf + gjp,Z1 d + jgj jf + gjp,1 d
                          [Z jf jp d]1=p[Z jf + gj(p,1)q d]1=q
                         + [ jgjp d]1=p[ jf + gj(p,1)qd]1=q
                         = kf kpkf + gkp=qp + kg kp kf + g kp :
                                                              p=q

                                     382

Страницы