Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 381 стр.

SLEDUET, ^TO P. W. SU]ESTWUET f (x)  limn fn (x). iZ FUNDAMENTALXNOSTI
(fn) SLEDUET, ^TO DLQ NEKOTOROGO C > 0 SPRAWEDLIWA OCENKA kfn k1 
C (n 2 N). pO\TOMU jfn(x)j  C P. W. I, SLEDOWATELXNO, jf (x)j  C P. W.,
OTKUDA f 2 L1 (). pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO I N TAKOWO, ^TO n > N )
kfn+p , fn k1 < " (p 2 N). tOGDA jfn+p(x) , fn (x)j  " P. W. (n  N ),
A ZNA^IT, (PEREHODQ K PREDELU PO p) jf (x) , fn (x)j  " P. W. (n  N ).
pO\TOMU kfn , f k1  " (n > N ). iTAK, kfn , f k1 ! 0 (n ! 1): >
    rASSMOTRIM KLASS L1(), NAHODQ]IJSQ NA PROTIWOPOLOVNOM KONCE
[KALY. iZ SWOJSTW INTEGRALA
                          Z      lEBEGA SLEDUET, ^TO L1() | WEKTORNOE
PROSTRANSTWO I kf k1  jf jd | NORMA NA L1(). pRI DOKAZATELXSTWE
SLEDU@]IH NIVE UTWERVDENIJ PREDPOLAGAEM (RADI TEHNI^ESKOJ PROSTO-
TY), ^TO  | KONE^NAQ MERA.
    5. L1 () | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
  wOSPOLXZUEMSQ 148.4. pUSTX RQD nP=1 fn SHODITSQ ABSOL@TNO W L1(),
                                      1
       1 Z
T. E. n=1 jfnj d < +1. pO SLEDSTWI@ K TEOREME lEWI 208.5 RQD nP=1 jfnj
       P                                                           1

SHODITSQ P. W. K NEKOTOROJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII '( 0). oTS@DA P. W.
SHODITSQ RQD nP=1 fn . pUSTX f | EGO SUMMA. pOSKOLXKU j nP=1 fnj  ' P. W.
                1                                          k

(k 2 N), POLU^AEM, ^TO jf j  ' P. W. I PO\TOMU f 2 L1(). nAKONEC, RQD
 P
 1
    fn SHODITSQ W L1() (K f ):
n=1
  Z       Xk          Z X 1            1 Z
                                       X
    jf , fnj d = j           fnjd         jfn j d ! 0 (k ! +1): >
        n=1             n=k+1         n=k+1
    6. z A M E ^ A N I E. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX (fn ) SHODITSQ K f PO
NORME PROSTRANSTWA L1(), TO SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX (fnk ),
SHODQ]AQSQ K f P. W.
  pUSTX kfn , f k1 ! 0 (n ! 1); " > 0 I Xn (")  fx 2 E : jfn(x) , f (x)j 
"g. tOGDA IZ OCENKI
                        Z           Z
            Xn (") =        d  " jfn , f j d  1" kfn , f k1
                                  1
                      Xn (")       Xn (")
                 
SLEDUET, ^TO fn ,! f . iZ 206.4 TEPERX SLEDUET TREBUEMOE. >
                                    381