Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 386 стр.

     (ii) A NEPRERYWEN,
     (iii) A NEPRERYWEN W TO^KE .
  (i) ) (ii). fn ! f (fn; f 2 E ) ) kAfn , Af k = kA(fn , f )k 
kAk kfn , f k ! 0 ) Afn ! Af .
 (ii) ) (iii) S O^EWIDNOSTX@.
 (iii) ) (i). iZ USLOWIQ (iii) SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET  > 0 TAKOE, ^TO
kf k <  ) kAf k < 1. pOLAGAQ C = 2=, IMEEM (PRI f 6= ):
                    kAf k = 2 kf k 
 kA( 2 
 kff k )k < C kf k: >
   4. dLQ A 2 L(E; F ) : kAk = sup kAf k = sup kAf k.
                                kf k1      kf k=1
  oBOZNA^IM M = sup kAf k; IMEEM: kAf k  C kf k (f 2 E ) ) kAf k 
                   kf k1
C (kf k  1) ) M  kAk; kAf k = kA(f=kf k)k  M kf k ) kAk  M: >
   5. pUSTX E; F; G | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA I A 2 L(E; F ); B 2
L(F; G). tOGDA B  A 2 L(E; G). pRI \TOM kB  Ak  kB k kAk.
 kB  Ak = sup kB (Af )k  kB k 
 sup kAf k = kB k kAk: >
            kf k1                kf k1
   6.kLASS L(E; F ) WSEH OGRANI^ENNYH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ NOR-
MIROWANNOGO PROSTRANSTWA E W NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO F S ES-
TESTWENNYMI WEKTORNYMI OPERACIQMI I NORMOJ () | NORMIROWANNOE
PROSTRANSTWO. bOLEE TOGO, ESLI F | POLNOE PROSTRANSTWO, TO L(E; F )
| TAKVE POLNO.
  fUNKCIQ () NA SAMOM DELE QWLQETSQ NORMOJ:
         kA + B k = sup k(A + B )f k  sup [kAf k + kBf k]
                       kf k1            kf k1
                     sup kAf k + sup kBf k = kAk + kB k:
                       kf k1       kf k1
pUSTX kAn , Amk ! 0 (n; m ! 1). tOGDA DLQ L@BOGO f 2 E POSLEDOWA-
TELXNOSTX (Anf ) FUNDAMENTALXNA W F :
   kAnf , Amf k = k(An , Am)f k  kAn , Amk kf k ! 0 (n; m ! 1):

                                 386