Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 390 стр.

nAPOMNIM, ^TO KAVDYJ \LEMENT  2 H 1[a; b] | \TO KLASS \KWIWALENTNYH
k 
 k-FUNDAMENTALXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ. pUSTX (un) 2  k 
 k-FUN-
DAMENTALXNA W C 1[a; b]. pOLOVIM
                   (j ())(x)  lim
                                  n un (x) (a  x  b):
iZ OCENKI () SLEDUET, ^TO (un) | k 
 k[a;b]-FUNDAMENTALXNA. pO\TOMU
j () 2 C [a; b]. tAKIM OBRAZOM OPREDELENNOE OTOBRAVENIE j : H 1 ! C [a; b],
O^EWIDNO, LINEJNO, PRI^EM kj ()k[a;b]  K kk, T. E. j 2 L(H 1; C [a; b]).
    uBEDIMSQ, ^TO j | IN_EKCIQ. dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO j () =  )
 = . pUSTX j () =  I (un) 2  k
k-FUNDAMENTALXNA W C 1[a; b]. iZ () SLE-
DUET, ^TO un =) 0 (A ZNA^IT, kun k2 ! 0); KROME TOGO, u0n
k
k2-FUNDAMENTALXNA I, SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET FUNKCIQ w 2 L2[a; b]
TAKAQ, ^TO u0n ! w PO NORME k
k2. mY USTANOWIM, ^TO  = , ESLI POKAVEM,
^TO w = 0 P. W. dEJSTWITELXNO,
 ku0n , wk2 ! 0 ) ku0n , wk1 !Z0 x                 Zx         
                     ) Z 8x 2 [a; b] aZun(t) dt ! a w(t) dt
                                          0
                          x              x
                     ) a w(t) dt = lim      0
                                                       n [un (x) , un (a)] = 0:
                                     n a un (t) dt = lim
                      Zx
fUNKCIQ  [a; x]  a w(t) dt POROVDAET -ADDITIWNYJ ZARQD, ABSOL@TNO
NEPRERYWNYJ OTNOSITELXNO MERY lEBEGA. pO TEOREME rADONA-nIKODIMA
w = 0 P. W. >
    x225. sOPRQVENNOE PROSTRANSTWO
    1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO NAD POLEM (= C ILI R).
PROSTRANSTWO L(E; ) (SM. 223.1) NAZYWAETSQ SOPRQVENNYM K PROSTRAN-
STWU E I OBOZNA^AETSQ E . |LEMENTAMI E  QWLQ@TSQ LINEJNYE OGRANI-
^ENNYE OTOBRAVENIQ ' : E ! , NAZYWAEMYE LINEJNYMI OGRANI^ENNYMI
FUNKCIONALAMI. w SOOTWETSTWII S 223.4 NORMA FUNKCIONALA ' 2 E  WY-
^ISLQETSQ PO FORMULAM:
        k'k  inf fC > 0 : j'(f )j  C kf k (f 2 E )g = sup j'(f )j
                                                           kf k1
                = sup j'(f )j:
                 kf k=1

                                     390