Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 392 стр.

   1.   pUSTX g 2 L1 () I OTOBRAVENIE 'g : L1() ! C ZADANO FORMULOJ
                                Z
                       'g (f )  fg d (f 2 L1()):
tOGDA 'g 2 L1(), PRI^EM k'g k = kgk1.
 oTOBRAVENIE 'g KORREKTNO ZADANO, LINEJNO I OGRANI^ENO:
                   Z               Z
      j'g (f )j = j fg dj  kgk1 
 jf j d = kgk1 kf k1 (f 2 L1()):
iZ POLU^ENNOGO NERAWENSTWA SLEDUET TAKVE, ^TO k'g k  kgk1; DLQ DOKA-
ZATELXSTWA OBRATNOGO NERAWENSTWA DOSTATO^NO S^ITATX, ^TO g 6= . pUSTX
" > 0 PROIZWOLXNO, 0 < " < kgk1. oBOZNA^IM X" = fx 2 E : jg(x)j >
kgk1 , "g. iZ OPREDELENIQ NORMY k 
 k1 (SM. 221.1)Z SLEDUET, ^TO X" > 0.
                   g
pOLOVIM f" = jgjX" X" (OTMETIM, ^TO kf"k1 = jf"j d = 1). tOGDA
                                              Z             Z
       k'g k = sup j'(f )j  j'g (f")j = j f"g dj = X1 " 
 jgj d
                  kf k11                                   X"
               kgk1 , ":
iZ PROIZWOLXNOSTI " : k'g k  kgk1: >
    2. L1 () ' L1 ().
  w SILU P. 1 OPREDELENO IZOMETRI^ESKOE OTOBRAVENIE g ! 'g PROSTRAN-
STWA L1() W L1(). pOKAVEM, ^TO \TO OTOBRAVENIE S@R_EKTIWNO. pUSTX
' 2 L1(). pOLOVIM
(1)                       ' (X )  '(X ) (X 2 A):
uBEDIMSQ, ^TO ' | ZARQD. pUSTX X = P Xj (X; Xj 2 A). tOGDA POSLE-
                                            1
                                           j =1
                Pn
DOWATELXNOSTX  SHODITSQ PO NORME k 
 k K  , TAK KAK                 1
                     j =1 Xj                                              X

        Z           X
                    n                   Z                     X
                                                              1
            jX ,          Xj j d =       P
                                            1
                                                 Xj
                                                      d =            Xj ! 0 (n ! +1):
                    j =1                 j=n+1
                                                             j =n+1



                                                      392