Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 393 стр.

pOSKOLXKU ' 2 L1(), IMEEM
    '(X ) = '(X ) = lim ' (    ) = lim ' (  Pn  ) = lim Pn '( )
                        n      Pn       n Xj  j =1 Xj     n j =1  Xj
                                    j=1
            = P ' (Xj ):
              1
                j =1
zAMETIM, ^TO ZARQD ' ABSOL@TNO NEPRERYWEN OTNOSITELXNO . fdEJSTWI-
TELXNO, Y = 0 ) Y = 0 P. W. ) '(Y ) = '(Y ) = '() = 0.g pO TEOREME
rADONA-nIKODIMA SU]ESTWUET (I OPREDELENA ODNOZNA^NO) FUNKCIQ g 2
L1() TAKAQ, ^TO
                               Z
(2)                    '(X ) = g d (X 2 A)
                                     X
(OTMETIM, ^TO ZDESX NE WYZYWAET ZATRUDNENIJ SLU^AJ KOMPLEKSNYH FUNK-
CIJ). bUDEM S^ITATX, ^TO g  0 (INA^E ZARQD ' PREDSTAWIM W WIDE
' = +1 ,,1 +i(+2 ,,2 ), I MOVNO RASSMOTRETX MERY k PO OTDELXNOSTI).
~TOBY ZAWER[ITX DOKAZATELXSTWO TEOREMY, DOSTATO^NO USTANOWITX:
    (A) g 2 L1 (Z),
    (B) '(f ) = fg d (f 2 L1()).
 eSLI (A) NE WERNO, TO POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW Xn = fx 2 E :
g(x) > ng TAKOWA, ^TO Xn > 0; Xn Z! 0 (n ! +1) (!!). pOLOVIM hn =
1 1                                               1
n 
 Xn 
 Xn (n 2 N). tOGDA khnk1 = jhnj d = n ! 0 (n ! 1), NO
                                              Z
          '(hn) = n1 
 X1 '(Xn ) = n1 
 X1 g d  1 (n 2 N);
                             n               nX
                                                n
^TO PROTIWORE^IT NEPRERYWNOSTI '. iTAK, g 2 L1().           Z
   dLQ PROWERKI (B) ZAMETIM SNA^ALA, ^TO RAWENSTWO (f )  fg d
(f 2 L1()) W SILU P. 1 KORREKTNO OPREDELQET FUNKCIONAL 2 L1(), I
NUVNO LI[X USTANOWITX, ^TO = '. oTMETIM, ^TO = ' NA KLASSE K
KONE^NO-ZNA^NYH PROSTYH FUNKCIJ:
          Pn            Pn              Pn Z          Pn  Z
        ( j Xj ) =        j (Xj ) = j Xj g d = j g d
         j =1          j =1            j =1          j =1
                                                          Xj
                   =    Pn               P
                                         n            Pn
                              (X ) =  '( ) = '(   ):
                              j '         j                j   Xj          j Xj
                       j =1                         j =1            j =1

                                              393