Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 396 стр.

    B) j (f )j  kf k (f 2 E ).
  rADI TEHNI^ESKOJ PROSTOTY, DOKAZATELXSTWO PROWEDEM DLQ WE]ESTWEN-
NOGO POLQ ( = R). pUSTX g 2 E nX I Y = fg + f j f 2 X g | LINEAL,
POROVDENNYJ WEKTOROM g I LINEALOM X . pRODOLVIM FUNKCIONAL ' NA
Y TAK, ^TOBY j'(h)j  khk(h 2 Y ). dLQ \TOGO WOZXMEM PROIZWOLXNYE
WEKTORY f1; f2 2 X I ZAMETIM, ^TO
        '(f1) + '(f2) = '(f1 + f2)  kf1 + f2k  kf1 , gk + kf2 + gk;
OTKUDA '(f1) , kf1 , gk  kf2 + gk , '(f2). pO\TOMU
                sup ['(f1) , kf1 , gk]  finf  [kf2 + gk , '(f2)]:
             f1 2X                        2 2X

pUSTX 2 R | PROIZWOLXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO
()       sup['(f ) , kf , gk]   finf
                                     2X
                                        [kf + gk , '(f )]:
             f 2X
pOLOVIM 'e(g + f )   + '(f ) (f 2 X;  2 R) I UBEDIMSQ, ^TO '~ |
ISKOMOE PRODOLVENIE ' NA LINEAL Y . dEJSTWITELXNO, ESLI, NAPRIMER,
 > 0, TO W SILU ()
     'e(g + f ) = [ + '( 1 f )]  [kg + 1 f k , '( 1 f ) + '( 1 f )]
                 = kg + f k;
     'e(g + f )  ['(, 1 f ) , k , 1 f , gk] + '(f ) = ,kg + f k;
TAK ^TO j'e(g + f )j  kg + f k (f 2 X;  2 R). aNALOGI^NO RASSMATRIWA-
ETSQ SLU^AJ  < 0 (!!).
   zAWER[ENIE DOKAZATELXSTWA OSNOWANO NA PRIMENENII TEOREMY cORNA
(PRIL. III, P. 11). pUSTX f'i : Xi ! Rg | MNOVESTWO WSEH PRODOLVENIJ
FUNKCIONALA ', UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@
                         j'i(f )j  kf k (f 2 Xi)
(ZDESX, ESTESTWENNO, Xi  X; 'i(f ) = '(f ) (f 2 X )). wWEDEM W \TOM MNO-
VESTWE PORQDOK: 'i  'k , ESLI Xi  Xk I 'i(f ) = 'k (f ) (f 2 Xk ). wSE

                                   396