Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 397 стр.

AKSIOMY PORQDKA NA SAMOM DELE WYPOLNENY (!!). pROWERIM, ^TO MNOVES-
TWO ('i) INDUKTIWNO. pUSTX ('j )j2J | SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE         POD-
MNOVESTWO MNOVESTWA ('i). oPREDELIM NA LINEALE X0  S Xj LINEJNYJ
                                                            j 2J
FUNKCIONAL '0(f )  'j (f ), ESLI f 2 Xj . fUNKCIONAL '0 OPREDELEN KOR-
REKTNO: ESLI f 2 Xj1 \ Xj2 (j1; j2 2 J ), TO W SILU SOWER[ENNOJ UPORQDO-
^ENNOSTI SEMEJSTWA ('j )j2J : 'j1  'j2 , LIBO 'j2  'j1 . pUSTX, NAPRIMER,
'j2  'j1 . tOGDA Xj2  Xj1 I 'j1 (f ) = 'j2 (f ) (f 2 Xj2 ). pRI \TOM '0
| MAVORANTA SEMEJSTWA ('j )j2J , I INDUKTIWNOSTX ('i) USTANOWLENA. pO
TEOREME cORNA SU]ESTWUET MAKSIMALXNOE PRODOLVENIE FUNKCIONALA ',
TO ESTX LINEJNYJ FUNKCIONAL : Y ! R, GDE Y | LINEAL W E , PRI^EM
  jX = '; j (f )j  kf k (f 2 Y ). eSLI Y =6 E , TO SU]ESTWUET g 2 E nY I,
PRIMENQQ K KONSTRUKCI@, IZLOVENNU@ W NA^ALE DOKAZATELXSTWA, PRO-
DOLVIM NA LINEAL fg + f j f 2 Y;  2 Rg W PROTIWORE^IE S MAKSIMALX-
NOSTX@ : >
    oTMETIM RQD SLEDSTWIJ TEOREMY hANA-bANAHA DLQ NORMIROWANNYH
PROSTRANSTW.
    2. pUSTX X | LINEAL W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E I ' |
OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA X . tOGDA SU]ESTWUET 2 E 
TAKOJ, ^TO j X = '; k k = k'k.
  oPREDELIM NA WEKTORNOM PROSTRANSTWE E WYPUKLU@ FUNKCI@ kf k 
k'k kf k, GDE kf k | NORMA WEKTORA f W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E ,
A k'k | NORMA FUNKCIONALA ' 2 X . pRIMENIM P. 1 K (E; k 
 k) I
FUNKCIONALU ': SU]ESTWUET LINEJNYJ FUNKCIONAL NA E TAKOJ, ^TO
                  j X = '; j (f )j  kf k = k'k kf k (f 2 E ):
oTS@DA SLEDUET, ^TO 2 E  I k k  k'k. nERAWENSTWO k k  k'k
SLEDUET IZ TOGO, ^TO | PRODOLVENIE ': >
    3. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO,  =           6 f 2 E . tOGDA
SU]ESTWUET 2 E TAKOJ, ^TO k k = 1; (f ) = kf k.
                      
  pOLOVIM X = ff j  2 g; '(f )  kf k (f 2 X ). tOGDA
' 2 X ; k'k = 1. oSTAETSQ PRIMENITX P. 2. >
    4. eSLI NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO E NETRIWIALXNO, TO NETRI-
WIALXNO I PROSTRANSTWO E .
  |TO SLEDSTWIE P. 3. >
                                   397