Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 398 стр.

   5.   pUSTX X | LINEAL W NORMIROWANNOM PROSTRANSTWE E; g 2 E nX I
    finf
       2X
          kg + f k > 0. tOGDA SU]ESTWUET FUNKCIONAL 2 E  TAKOJ, ^TO
  (g) = I (f ) = 0 (f 2 X ).
  rASSMOTRIM LINEAL Y = fg + f j f 2 X;  2 g I OPREDELIM NA NEM
FUNKCIONAL '(g + f )   . iZ OCENKI (PRI  6= 0)
        j'(g + f )j = jj = jj hinf k g + h k  jjk g + 1 f k = kg + f k
                                   2X                      
SLEDUET, ^TO ' 2 Y . w KA^ESTWE WOZXMEM PRODOLVENIE ' PO P. 2. >
    6. u P R A V N E N I E. zAWER[ITE DOKAZATELXSTWO TEOREMY hANA-
bANAHA W SLU^AE SEPARABELXNOGO NORMIROWANNOGO PROSTRANSTWA E , NE IS-
POLXZUQ TEOREMU cORNA fUKAZANIE: ISPOLXZOWATX TEOREMU x227g.
    x229. wTOROE SOPRQVENNOE PROSTRANSTWO
    1. pUSTX E | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO I E  | SOPRQV       ENNOE
K NEMU PROSTRANSTWO, QWLQ@]EESQ BANAHOWYM (SM. 223.6). mOVNO RAS-
SMOTRETX SOPRQVENNOE K PROSTRANSTWU E ; ONO NAZYWAETSQ WTORYM SO-
PRQVENNYM K PROSTRANSTWU E . tAKIM OBRAZOM, PO OPREDELENI@ E  
(E ) .(mOVNO, RAZUMEETSQ, PRODOLVITX PROCESS I RASSMOTRETX E ; E 
I T. D.)
    2. mEVDU ISHODNYM PROSTRANSTWOM E I EGO WTORYM SOPRQV       ENNYM
IMEETSQ TESNAQ SWQZX. ~TOBY PROANALIZIROWATX EE, WWEDEM OTOBRAVENIE
b) : E ! E  (ONO ^ASTO NAZYWAETSQ KANONI^ESKIM), SOPOSTAWLQ@]EE
KAVDOMU \LEMENTU f 2 E \LEMENT fb 2 E , DEJSTWU@]IJ PO FORMULE
(1)                        fb(')  '(f ) (' 2 E ):
w SAMOM DELE, fb | OGRANI^ENNYJ LINEJNYJ FUNKCIONAL NA BANAHOWOM
PROSTRANSTWE E , TAK KAK
                   jfb(')j = j'(f )j  kf k k'k (' 2 E ):
    3. kANONI^ESKOE OTOBRAVENIE b) : E ! E  | IZOMETRIQ.
  w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 223.7 NUVNO UBEDITXSQ, ^TO OTOBRAVE-
NIE b) SOHRANQET NORMU. iZ (2) SLEDUET, ^TO kfbk  kf k. oBRATNO, PUSTX
                                        398