Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 400 стр.

   2.    pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, X ( E ) | LINEAL PLOT-
NYJ W E I Tn 2 L(E; F ) | POSLEDOWATELXNOSTX LINEJNYH OGRANI^ENNYH
OPERATOROW. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
     (i) limn Tn f SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE f 2 E ,
            n Tn f SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE f 2 X I sup
     (ii) lim                                                 n
                                                                 kTnk < +1.
  (i) ) (ii) W SILU P. 1.
 (ii) ) (i). pUSTX M = sup n
                              kTnk I " > 0 PROIZWOLXNO. pUSTX f0 2 E nX I
f 2 X TAKOWO, ^TO kf , f0k  "=2M ; PUSTX N TAKOWO, ^TO k(Tn , Tm)f k <
" (n; m > N ). tOGDA DLQ n; m > N
  kTnf0 , Tmf0k  k(Tn , Tm)(f0 , f )k + k(Tn , Tm)f k
                      k(Tn , Tm)(f0 , f )k + "  2M 
 ("=2M ) + " = 2": >
     3. pUSTX E; F | NORMIROWANNYE PROSTRANSTWA, OTOBRAVENIE
a : E  F ! C NAZOWEM 2-LINEJNYM, ESLI LINEJNY OTOBRAVENIQ a(f; 
) :
F ! C ; a(
; g) : E ! C (f 2 E; g 2 F ).
     4. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, a : E  F ! C |
2-LINEJNOE OTOBRAVENIE, I PRI FIKSIROWANNYH f 2 E; g 2 F OTOBRA-
VENIQ a(f; 
) : F ! C ; a(
; g) : E ! C NEPRERYWNY. tOGDA a NEPRERYWNO
(PO SOWOKUPNOSTI PEREMENNYH).
  dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO ESLI fn ! ; gn !  (fn 2 E; gn 2 F ),
TO a(fn; gn ) ! 0 (!!). dLQ FIKSIROWANNOGO n 2 N POLOVIM Tn = a(fn; 
) :
F ! C . |TO POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENNYH LINEJNYH FUNKCIONA-
LOW, PRI^EM (TAK KAK a(
; g) NEPRERYWNY) lim  n jTn (g )j = lim
                                                               n ja(fn; g )j = 0
DLQ L@BOGO g 2 F . pO\TOMU sup     n
                                     jTn(g)j < +1 (g 2 F ). pO TEOREME
bANAHA-{TEJNGAUZA K  sup     n
                                kTnk < +1, TAK ^TO ja(fn; gn )j = jTn(gn)j 
K kgn k ! 0: >
     5. u P R A V N E N I E. pRIWEDITE PRIMER, POKAZYWA@]IJ, ^TO TREBO-
WANIE POLNOTY PROSTRANSTWA E W TEOREME P. 1 NE MOVET BYTX OPU]ENO.
   x231. tEOREMA bANAHA OB OTKRYTOM OTOBRAVENII
   1. t E O R E M A. [s.bANAH]. eSLI E; F BANAHOWY PROSTRANSTWA,
T : E ! F | OGRANI^ENNAQ LINEJNAQ S@R_EKCIQ, TO OBRAZ KAVDOGO
OTKRYTOGO MNOVESTWA PRI OTOBRAVENII T OTKRYT W F .
                                      400