Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 399 стр.

f 6=  I '0 2 E  TAKOJ, ^TO k'0k = 1 I '0(f ) = kf k ('0 SU]ESTWUET
W SILU 228.3). tOGDA IZ RAWENSTWA jfb('0)j = j'0(f )j = kf k SLEDUET, ^TO
kfbk  kf k: >
    4. bANAHOWO PROSTRANSTWO E NAZYWAETSQ REFLEKSIWNYM, ESLI
b) : E ! E  | IZOMETRI^ESKIJ IZOMORFIZM E NA E .
    pRIMERY REFLEKSIWNYH BANAHOWYH PROSTRANSTW: EWKLIDOWY PROSTRAN-
STWA Rn; C n , PROSTRANSTWA Lp() (1 < p < 1).
    u P R A V N E N I Q. 5. pOKAVITE, ^TO KAVDOE KONE^NOMERNOE NORMI-
ROWANNOE PROSTRANSTWO REFLEKSIWNO.
    6. uBEDITESX, ^TO PROSTRANSTWO c0 WSEH KOMPLEKSNYH POSLEDOWATELX-
                                            n f = 0 I S NORMOJ kf k  sup
NOSTEJ f = (f 1; f 2; : : :) SO SWOJSTWOM lim                             jf n j,
                                               n
                                                                       n
| NE REFLEKSIWNOE BANAHOWO PROSTRANSTWO.
    7. pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO, PRI^       EM E  REFLEKSIWNO. pOKA-
VITE, ^TO E TAKVE REFLEKSIWNO.
    x230. tEOREMA bANAHA-{TEJNGAUZA
    1. [pRINCIP RAWNOMERNOJ OGRANI^ENNOSTI]. pUSTX E | BANAHOWO PRO-
STRANSTWO, F | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, F  L(E; F ), PRI^EM
sup kTf k < +1 PRI KAVDOM f 2 E . tOGDA sup kT k < +1.
T 2F                                       T 2F
                   T
  pOLOVIM An = T 2Fff j kTf k  ng. tOGDA
   (i) E = S An,
           1
                         (ii) KAVDOE An ZAMKNUTO.
             n=1
 pO TEOREME b\RA 217.4 KAKOE-LIBO An IMEET NEPUSTU@ WNUTRENNOSTX:
An 6= ;. pUSTX B"(a)  An. sU]ESTWUET N1 TAKOE, ^TO B" ()  AN1 .
fpUSTX Tsup  kTak < k (2 N); POLAGAQ N1 = n + k, IMEEM (TAK KAK f + a 2
          2F
B"(a)):
              kf k < " ) kTf k  kT (f + a)k + kTak  n + k:g
tEPERX
         T 2 F ) kT k = sup kTf k = 1" 
 sup kT ("f )k  N1=": >
                           kf k1            kf k1
   rASSMOTRIM RQD WAVNYH SLEDSTWIJ.
                                      399