Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 40 стр.

     predel i neprerywnostx funkcij
   x18. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE
   w \TOM RAZDELE NA^INAETSQ IZU^ENIE LOKALXNOGO POWEDENIQ ^ISLOWYH
FUNKCIJ. sLEDU@]EE CENTRALXNOE OPREDELENIE PRIDAET TO^NYJ MATEMA-
TI^ESKIJ SMYSL TIPI^NOJ SITUACII, KOGDA PRI PRIBLIVENII TO^KI x K
TO^KE a ZNA^ENIE FUNKCII f (x) PRIBLIVAETSQ K ^ISLU .
   1. pUSTX f : E ! R (E  R) I a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E .
~ISLO NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a, ESLI xn ! a (a =     6
xn 2 E ) WLE^ET f (xn) ! . w \TOM SLU^AE PI[UT = xlim
                                                    !a f (x). oTMETIM,
^TO f MOVET BYTX I NE OPREDELENA W TO^KE a.
   2. pUSTX f : E ! R I a | PREDELXNAQ TO^KA E . sLEDU@]IE USLOWIQ
\KWIWALENTNY:
  (A) = xlim
          !a f (x),
  (B) 8" > 0 9 > 0 8x 2 E (0 < jx , aj <  ) jf (x) , j < "),
  (W) 8U ( ) 9V (a) (f (V (a) \ E )  U ( )).
 qSNO, ^TO (B) , (W). pOKAVEM, ^TO (A) ) (B). eSLI (B) NE WYPOLNQETSQ,
TO
         9" > 0 8 > 0 9x 2 E (0 < jx , aj < ; jf (x) , j  "):
w ^ASTNOSTI, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI n = n1 (n 2 N) SU]ESTWUET POSLE-
DOWATELXNOSTX (xn) (xn 2 E ) TAKAQ, ^TO
                      0 < jxn , aj < n1 ; jf (xn ) , j  ";
TAK ^TO xn ! a (a 6= xn 2 E ), NO f (xn ) 6! .
   (B) ) (A). pUSTX xn ! a (a 6= xn 2 E ); " > 0 | PROIZWOLXNO I  > 0
TAKOWO, ^TO 8x 2 E (0 < jx , aj <  ) jf (x) , j < "). eSLI N TAKOWO,
^TO jxn , aj <  (n > N ), TO jf (xn ) , j < "(n > N ), TO ESTX f (xn ) ! : >


                                       40