Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 42 стр.

   5.   pUSTX f; g; h ZADANY NA MNOVESTWE E  R, PRI^EM SU]ESTWUET
OKRESTNOSTX U (a) TAKAQ, ^TO f (x)  g(x)  h(x) (x 2 U (a) \ E ) I
xlim           !a h(x) = . tOGDA xlim
  !a f (x) = xlim                     !a g (x) = .
   sWOJSTWA P. 3 POLU^A@TSQ IZ PODHODQ]IH SWOJSTW DLQ PREDELOW POSLE-
DOWATELXNOSTEJ (!!). dOKAVEM E]E DWA UTWERVDENIQ.
     4 (DOSTATO^NOSTX). pUSTX xn ! a (a 6= xn 2 E ); " > 0 | PpOIZ-
WOLXNO I N TAKOWO, ^TO xn 2 U (a) PRI n > N , TAK ^TO W SILU ()
8n; m > N (jf (xn ),f (xm)j < "). iTAK, POSLEDOWATELXNOSTX (f (xn )) FUNDA-
MENTALXNA I, SLEDOWATELXNO, OBLADAET PREDELOM. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO
\TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI (xn) fDOPUSTIW,
^TO DLQ (x0n) POSLEDOWATELXNOSTX (f (x0n )) SHODITSQ K DRUGOMU PREDELU,
PRIHODIM K PROTIWORE^I@ SO SWOJSTWOM EDINSTWENNOSTI PREDELA, ESLI
WOZXMEM NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX x1; x01; x2; x02; : : :g: >
     5. pUSTX xn ! a (a 6= xn 2 E ). tOGDA 9n0 8n > n0(xn 2 U (a)) I,
SLEDOWATELXNO, f (xn )  g(xn)  h(xn) (n > n0). tEPERX PO SWOJSTWU 10.2
  !a g (x) = : >
xlim
     p R I M E R Y. 6. xlim sin x = 1. fpLO]ADX SEKTORA OAM < PLO].

                         !0 x                                              OMN
(SM. rIS. 7), TO ESTX 2 jxj < 2 MN ILI jxj < j tg xj. pO\TOMU cos x < x x <
                         1       1                                       sin
1 (x 2 U (0)). oSTAETSQ U^ESTX 18.3 I P. 5.g
            tg x
     7. lim x = 1.
        x!0
     8. z A M E ^ A N I E. tRIGONOMETRI^ESKIE, STEPENNAQ, POKAZATELXNAQ
I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCII OBLADA@T SWOJSTWOM xlim         !a f (x) = f (a). dLQ
TRIGONOMETRI^ESKIH | \TO SLEDSTWIE 18.3 I P. 3. dLQ OSTALXNYH TIPOW
FUNKCIJ \TO SWOJSTWO BUDET USTANOWLENO POZDNEE. sLEDUET OGOWORITXSQ,
^TO UPOMINAW[IESQ WY[E \LEMENTARNYE FUNKCII NAMI STROGO NE OPRE-
DELENY. pOZDNEE (x27) \TOT PROBEL BUDET ^ASTI^NO WOSPOLNEN | BUDUT
AKKURATNO WWEDENY POKAZATELXNAQ, LOGARIFMI^ESKAQ I STEPENNAQ FUNK-
CII.
     u P R A V N E N I Q. 9. eSLI xlim     !a f (x) = 6= 0; TO DLQ NEKOTOROJ
OKRESTNOSTI U (a) FUNKCIQ f NA MNOVESTWE U (a) SOHRANQET ZNAK ^ISLA .
     10. eSLI f : [a; b) ! R MONOTONNA I OGRANI^ENA, TO lim f (x) SU]EST-
                                                              x!b
WUET.

                                      42