Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 411 стр.

   x238. bILINEJNYE FORMY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
   1. fUNKCI@ a : H  H ! C , GDE H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO,
NAZOWEM BILINEJNOJ FORMOJ (B. F.) W H , ESLI ONA LINEJNA PO PERWOMU
ARGUMENTU I ANTILINEJNA PO WTOROMU:
     a(f1 + f2; g) = a(f1; g) + a(f2; g);
     a(g; f1 + f2) = a(g; f1) + a(g; f2); (fi; g 2 H ; ;  2 C ):
(sRAWNITE \TO OPREDELENIE S OPREDELENIEM 2-LINEJNOJ FORMY 230.3.)
b. F. a NAZYWAETSQ \RMITOWOJ, ESLI a(f; g) = a(g; f )(f; g 2 H ). b. F.
a NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI SU]ESTWUET C > 0 TAKOE, ^TO ja(f; g)j 
C kf k kgk (f; g 2 H ). wELI^INA
             kak  inf fC > 0 : ja(f; g)j  C kf k kgk (f; g 2 H )g
NAZYWAETSQ NORMOJ OGRANI^ENNOJ B. F. a.
    u P R A V N E N I Q. 2. pOKAVITE, ^TO kak = sup ja(f; g)j.
                                                     kf k=kgk=1
    3. b. F. OGRANI^ENA TTOGDA ONA NEPRERYWNA (PO SOWOKUPNOSTI PERE-
MENNYH).
    4. eSLI A | LINEJNYJ OGRANI^ENNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PRO-
STRANSTWE H (T. E. A 2 L(H; H ), SM. 223.1), TO RAWENSTWO a(f; g) = hAf; gi
(f; g 2 H ) OPREDELQET OGRANI^ENNU@ B. F. oKAZYWAETSQ, SPRAWEDLIWO I
OBRATNOE:
    5. dLQ WSQKOJ OGRANI^ENNOJ B. F. a W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE
H SU]ESTWUET I OPREDELEN ODNOZNA^NO OPERATOR A 2 L(H; H ) TAKOJ,
^TO a(f; g) = hAf; gi (f; g 2 H ). pRI \TOM kak = kAk.
  dLQ FIKSIROWANNOGO \LEMENTA f 2 H RASSMOTRIM FUNKCIONAL
F : H ! C , DEJSTWU@]IJ PO FORMULE F (g) = a(f; g) (g 2 H ). oN LINEEN
I OGRANI^EN, PRI^EM kF k  kak kf k (!!). pO TEOREME rISSA SU]ESTWUET
I OPREDELEN ODNOZNA^NO \LEMENT h 2 H TAKOJ, ^TO F (g) = hg; hi (g 2
H ), T. E. a(f; g) = hh; gi (g 2 H ). tAKIM OBRAZOM, WOZNIKAET OPERATOR
A : H ! H , OPREDELENNYJ RAWENSTWOM Af = h. pRI \TOM a(f; g) =
hAf; gi (f; g 2 H ). pOKAVEM, ^TO A 2 L(H; H ). oPERATOR A LINEEN W SILU

                                    411