Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 412 стр.

WYKLADKI
      hA(f1 + f2); gi = a(f1 + f2; g) = a(f1; g) + a(f2; g)
                        = hAf1 + Af2; gi (g 2 H ):
oPERATOR A OGRANI^EN W SILU OCENKI kAf k = khk = kF k  kak kf k. pRI
\TOM kAk  kak. s DRUGOJ STORONY,
       ja(f; g)j = jhAf; gij  kAf k kgk  kAk kf k kgk ) kak  kAk:
oPERATOR A OPREDELEN ODNOZNA^NO. feSLI, NAPROTIW, B | E]E ODIN OPE-
RATOR TAKOJ, ^TO a(f; g) = hBf; gi (f; g 2 H ), TO DLQ L@BOGO g 2 H :
hAf , Bf; gi = 0, OTKUDA Af = Bf (f 2 H ), T. E. A = B .g >
    x239. sOPRQVENNYJ OPERATOR
    1. pUSTX A 2 L(H; H ) I a | SOOTWETSTWU@]AQ EMU B. F., TO ESTX
a(f; g) = hAf; gi(f; g 2 H ). rASSMOTRIM NOWU@ B. F. a(f; g)  hf; Agi (f; g 2
H ). |TA B. F. OGRANI^ENA, PRI^EM kak = kak (!!). pO\TOMU (SM. 237.5)
SU]ESTWUET I OPREDELEN ODNOZNA^NO OPERATOR A 2 L(H; H ) TAKOJ, ^TO
a(f; g) = hAf; gi (f; g 2 H ). pRI \TOM kAk = kAk. oPERATOR A NA-
ZYWAETSQ SOPRQVENNYM K A. |TOT OPERATOR, TAKIM OBRAZOM, ODNOZNA^NO
OPREDELEN RAWENSTWOM hAf; gi = hf; Agi (f; g 2 H ).
    2. oTMETIM NEKOTORYE LEGKO PROWERQEMYE SWOJSTWA SOPRQV      ENNOGO OPE-
RATORA:
    (A) (A + B ) = A + B ; (A) = A;
    (B) A = A;
    (W) I  = I (I | TOVDESTWENNYJ OPERATOR).
    3. oPERATOR A 2 L(H; H ) NAZYWAETSQ SAMOSOPRQV        ENNYM, ESLI A =
A . oPERATOR A SAMOSOPRQVEN TTOGDA B. F., SOOTWETSTWU@]AQ \TOMU OPE-
  
RATORU W SILU 238.4, QWLQETSQ \RMITOWOJ (!!). oTMETIM, ^TO MNOVESTWO
WSEH OGRANI^ENNYH SAMOSOPRQVENNYH OPERATOROW OBRAZUET WE]ESTWENNOE
WEKTORNOE PROSTRANSTWO.
    4. dLQ KAVDOGO OGRANI^ENNOGO SAMOSOPRQV         ENNOGO OPERATORA A :
kAk = sup jhAf; f ij.
       kf k=1

                                     412