Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 429 стр.

 (i) | PROSTAQ PEREFORMULIROWKA OPREDELENIQ IZ P. 10. iZ ZAMYKAEMOSTI
T NEMEDLENNO SLEDUET USLOWIE W (ii). oBRATNO, PUSTX WYPOLNENO USLOWIE
W (ii). oPREDELIM OPERATOR S :
        D(S )  ff 2 H j 9(fn)  D(T ) 9g 2 H (fn ! f; Tfn ! g)g;
          Sf  g:
S OPREDELEN KORREKTNO: DEJSTWITELXNO, PUSTX fn0 2 D(T ) | E]E ODNA
POSLEDOWATELXNOSTX TAKAQ, ^TO fn0 ! f; Tfn0 ! g0. tOGDA
           fn , fn0 2 D(T ); fn , fn0 ! ; T (fn , fn0 ) ! g , g0:
iZ (ii) SLEDUET, ^TO g = g0. dALEE PO POSTROENI@ S  T; ,(S ) = ,(T ), ,
TAK ^TO S ZAMKNUT. >
    14. kAVDYJ ZAMYKAEMYJ OPERATOR T OBLADAET NAIMENX[IM ZAMK-
NUTYM RAS[IRENIEM (ONO OBOZNA^AETSQ T I NAZYWAETSQ ZAMYKANIEM
OPERATORA T ). pRI \TOM ,(T ) = ,(T ), .
  iSPOLXZUEM KONSTRUKCI@ OPERATORA S IZ PREDYDU]EGO PUNKTA I POLO-
VIM T  S . tOGDA (KAK OTME^ENO WY[E) SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ,(T ) =
,(T ), . eSLI R | E]E ODNO ZAMKNUTOE RAS[IRENIE OPERATORA T , TO
,(T )  ,(R), A ZNA^IT, ,(T ) = ,(T ),  ,(R), = ,(R). sLEDOWATELX-
NO, T  R, TAK ^TO T | NAIMENX[EE ZAMKNUTOE RAS[IRENIE OPERATORA
T: >
    15. p R I M E R [NEZAMYKAEMOGO OPERATORA]. oPREDELIM W GILXBERTOWOM
PROSTRANSTWE L2[0; 1] OPERATOR T : D(T )  C [0; 1]; (Tf )()  f (1).
rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX NEPRERYWNYH FUNKCIJ fn , SHODQ]U@SQ
W L2[0; 1] K , I W TO VE WREMQ TAKIH, ^TO fn(1) = 1. tOGDA Tfn ! , GDE
  () =  (0    1). iZ 13(ii) SLEDUET, ^TO T NE ZAMYKAEM.
    u P R A V N E N I Q. pUSTX T | ZAMKNUTYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM
PROSTRANSTWE H .
    16. Ker T | ZAMKNUTOE PODPROSTRANSTWO W H .
    17. eSLI OPREDEL  EN T ,1 , TO ON TAKVE ZAMKNUT.
    18. eSLI A 2 B (H ), TO A + T I TA ZAMKNUTY. wERNO LI ANALOGI^NOE
UTWERVDENIE, ESLI T | ZAMYKAEMYJ OPERATOR?

                                    429