Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 442 стр.

TAKAQ, ^TO kgn k = 1 I hAgn ; gn i ! kAk. tAK KAK A 2 C (H ); (Agn ) OBLA-
DAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ (OBOZNA^AEMOJ TAKVE (Agn)) :
Agn ! h. iMEEM
     kAgn , kAkgn k2 = kAgn k2 , 2kAkhAgn ; gni + kAk2
                        2[kAk2 , kAkhAgn; gn i] ! 0 (n ! 1):
oTS@DA gn = kA1 k (kAkgn , Agn + Agn) ! kA1 k h 6= . sLEDOWATELXNO, Ah =
kAk lim
      n Agn = kAkh WLE^ET, ^TO h | SOBSTWENNYJ WEKTOR OPERATORA A, A
kAk | OTWE^A@]EE EMU SOBSTWENNOE ZNA^ENIE. pO\TOMU kAk 2 (A): >
  3. z A M E ^ A N I E. eSLI dim H = 1, TO 0 2  (A) DLQ L@BOGO A 2 C (H )
(!!).
    4.[tEOREMA gILXBERTA-{MIDTA (SPEKTRALXNAQ TEOREMA DLQ SAMOSO-
PRQVENNOGO KOMPAKTNOGO OPERATORA)]. pUSTX A | SAMOSOPRQVENNYJ KOM-
PAKTNYJ OPERATOR W SEPARABELXNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H .
tOGDA SU]ESTWUET ORTONORMIROWANNYJ BAZIS (fn ) W H TAKOJ, ^TO
                        X
                   A=       n h
; fnifn ; n 2 R; n ! 0:
                        n
 pUSTX k | NENULEWYE TO^KI SPEKTRA A. w SOOTWETSTWII S 251.7 I PP.
1,3 (A) = f0g [ f1; 2; : : :g; k 2 R. kAVDOE SOBSTWENNOE ZNA^ENIE k
IMEET KONE^NU@ KRATNOSTX:
                  dim Hk < +1; GDE Hk = ff 2 H j Af = k f g:
w KAVDOM Hk WYBEREM ORTONORMIROWANNYJ BAZIS I RASSMOTRIM SISTEMU
(fn) | OB_EDINENIE \TIH BAZISOW. |TO ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA, TAK
KAK SOBSTWENNYE WEKTORY, OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA^E-
NIQM ORTOGONALXNY (SM. 251.9). pUSTX K | ZAMYKANIE LINEJNOJ OBOLO^-
KI SISTEMY (fn). tOGDA AK  K; AK ?  K ? (!!). pO\TOMU OPERATOR
Ae  AjK ? | SAMOSOPRQVENNYJ KOMPAKTNYJ OPERATOR (W K ? ). sNOWA W
SILU P. 1 0 =   6  2 (Ae) OZNA^AET, ^TO  | SOBSTWENNOE ZNA^ENIE OPERA-
       e
TORA A, A ZNA^IT, I OPERATORA A. nO PO POSTROENI@ NE SU]ESTWUET NI
ODNOGO NENULEWOGO SOBSTWENNOGO ZNA^ENIQ, NE PRINADLEVA]EGO SEMEJSTWU
f1; 2; : : :g. pO\TOMU (Ae) = f0g I SOGLASNO P. 2 Ae = 0.
                                    442