Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 443 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

    dOPOLNIM ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU (fn) DO ORTONORMIROWANNOGO
BAZISA W H (T. E. PRISOEDINIM K (fn) BAZIS W K ? ). oBRAZUEM TEPERX POSLE-
DOWATELXNOSTX: 1; 1; : : : ; 1; 2; : : : , W KOTOROJ KAVDOE SOBSTWENNOE ^ISLO
k DUBLIRUETSQ STOLXKO RAZ, KAKOWA EGO KRATNOSTX, I, ZANOWO PERENUMERO-
WYWAQ POLU^ENNU@ POSLEDOWATELXNOSTX, MY POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX
(n ), PRI^EM n ! 0. |TA POSLEDOWATELXNOSTXP ISKOMAQ. dEJSTWITELXNO,
PREDSTAWIW L@BOJ WEKTOR f 2 H W WIDE f = hf; fn ifn (RAZLOVENIE f W
RQD fURXE), IMEEM
                   X                  X                   X
          Af = A( hf; fnifn ) = hf; fniAfn = nhf; fn ifn : >
                    n               n                n
   5.  [kANONI^ESKAQ FORMA KOMPAKTNOGO OPERATORA]. pUSTX A | KOM-
PAKTNYJ OPERATOR W SEPARABELXNOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H .
tOGDA SU]ESTWU@T ORTONORMIROWANNYE SISTEMY (fn); (gn ) I ^ISLA n 
0 TAKIE, ^TO
    A = Pn n h; gn ifn (RQD SHODITSQ PO OPERATORNOJ NORME).
  uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI A = 0. pUSTX A | KOMPAKTNYJ OPERATOR,
A 6= 0. tOGDA AA | SAMOSOPRQVENNYJ KOMPAKTNYJ OPERATOR, I PO TEO-
REME gILXBERTA-{MIDTA SU]ESTWUET ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA (gn ) I
^ISLA n > 0 TAKIE, ^TO
                                X
                         AA = n h; gn ign ; n ! 0:
                                n
fw PREDSTAWLENII OPERATORA AA SOGLASNO P. 4 MY OSTAWLQEM LI[X NE-
NULEWYE SLAGAEMYE; n > 0 W SILU WYKLADKI:
          n = n kgnk2 = hn gn ; gni = hAAgn; gn i = kAgnk2:g
oTMETIM DALEE, ^TO Ker (AA) = fg1; g2; : : :g?. pOLOVIM n = pn; fn =
Agn . pOLU^ENNAQ SISTEMA WEKTOROW (fn ) | ORTONORMIROWANNAQ:
 n
                                                                 2
    hfn ; fmi = n1m hAgn ; Agmi = n1m hAAgn ; gmi = nnm hgn ; gmi
              = nm :
pROIZWOLXNYJ WEKTOR f 2 H PREDSTAWIM W WIDE f = Pn hf; gn ign + h, GDE
h 2 Ker (AA). nO TOGDA h 2 Ker(A), OTKUDA
                    X             X
              Af = hf; gniAgn = n hf; gn ifn (f 2 H ):
                        n                n

                                        443

Страницы