Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 453 стр.

pO SLEDSTWI@ K TEOREME hANA-bANAHA 228.3, SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT
  2 F ; k k = 1, ^TO (A(x + h) , A(x)) = kA(x + h) , A(x)k. pRIMENQQ
POLU^ENNU@ WY[E OCENKU K FUNKCIONALU , POLU^IM
             kA(x + h) , A(x)k  sup kA0(x + h)k khk: >
                                  01
   x259. iNTEGRAL OT WEKTOR-FUNKCII SO ZNA^ENIQMI W
           BANAHOWOM PROSTRANSTWE
   1.    pUSTX F | BANAHOWO PROSTRANSTWO I A : [a; b] ! F | WEKTOR-
FUNKCIQ. bUDEM GOWORITX, ^TO \TA FUNKCIQ INTEGRIRUEMA PO OTREZKU
[a; b], ESLI SU]ESTWUET PREDEL INTEGRALXNYH SUMM rIMANA
                      X
                      n
                  lim
                    n   (tk , tk,1)A(k ); (tk,1  k  tk )
                     k=1
PRI L@BOM WYBORE RAZLOVENIJ 
(a = t0 < t1 < : : : < tn = b), POD^I-
NENNYH USLOWI@ max(tk , tk,1) ! 0 (n ! 1). w \TOM SLU^AE UKAZAN-
NYJ PREDEL NAZYWAETSQ ZINTEGRALOM
                          b
                                      rIMANA OT WEKTOR-FUNKCII A I
OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM a A(t) dt. kORREKTNOSTX OPREDELENIQ INTEGRALA
SLEDUET IZ ARGUMENTOW, ISPOLXZOWANNYH W SKALQRNOM SLU^AE (SM. 46.4).
oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA INTEGRALA (SR. x81).
   2. nEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ INTEGRIRUEMA.
   3. eSLI A : [a; b] ! F INTEGRIRUEMA, A B 2 L(F; G), GDE G | E] E
ODNO BANAHOWO PROSTRANSTWO, TO BA INTEGRIRUEMA I
                       Zb              Zb
                           BA(t) dt = B A(t) dt:
                        a               a
   4.   eSLI WEKTOR-FUNKCIQ A(t) NEPRERYWNA, TO
                        Zb          Zb
                       k a A(t)dtk  a kA(t)k dt:
   5. [fORMULA nX@TONA-lEJBNICA]. pUSTX WEKTOR-FUNKCIQ A(t) NEPRE-
RYWNO DIFFERENCIRUEMA. tOGDA
                     Zb
                        A0(t) dt = A(b) , A(a):
                      a

                                  453